Μέγιστη τιμή τμήματος

KARKAR · #1

: Μέγιστη τιμή τμήματος.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

Οι αποστάσεις του σημείου

από τις κορυφές B,C

του - μεταβλητής πλευράς -

ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι SB=3

και

. Βρείτε τη μέγιστη

τιμή του

και την πλευρά του ισοπλεύρου για την οποία συμβαίνει αυτό .

Ορέστης Λιγνός · #2

KARKAR έγραψε:
Μέγιστη τιμή τμήματος.png
Οι αποστάσεις του σημείου από τις κορυφές του - μεταβλητής πλευράς -

ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι και . Βρείτε τη μέγιστη

τιμή του και την πλευρά του ισοπλεύρου για την οποία συμβαίνει αυτό .

Έστω

.

Από την ανισότητα Πτολεμαίου για το τετράπλευρο ABSC

έχουμε $AB \cdot SC +AC \cdot BS \geqslant BC \cdot AS \Leftrightarrow 5a+3a \geqslant a \cdot AS \Leftrightarrow \boxed{AS \leqslant 8}$ .

Η ισότητα λαμβάνεται όταν έχουμε ισότητα στην ανισότητα Πτολεμαίου, δηλαδή όταν ABSC

εγγράψιμο.

Αφού $\widehat{BAC}=60^0$ , είναι $\widehat{BSC}=120^0$ .

Στο SBC

με Νόμο Συνημιτόνων έχουμε $\boxed{a=BC=7}$ .

Panagiotis11 · #3

Καλησπέρα.Είμαι καινούριο μέλος και ελπίζω το mathematica να βοηθήσει όχι μόνο εμένα αλλά και όλους αυτούς που θέλουν να ασχοληθούν περαιτέρω με τα μαθηματικά.

Όσον αφορά το πρώτο ερώτημα θα ήθελα να υποδείξω μια ακόμα απάντηση σύμφωνα με το Θεώρημα van Schooten:

Έστω σημείο

στη

,ώστε

.Το τρίγωνο SBN

είναι ισόπλευρο επειδή $\angle BSA$ = $\angle BCA$ = 60°

.Άρα

και $\angle ABN$ = $\angle SBC$ = 60°

- $\angle NBC$

Αλλά ANB

τρίγωνο=

αφού

και $\angle ABN$ = $\angle SBC$ = 60°

- $\angle NBC$

'Αρα AN=SC

,δηλαδή:

=

Μέγιστη τιμή τμήματος

Μέγιστη τιμή τμήματος

Re: Μέγιστη τιμή τμήματος

Re: Μέγιστη τιμή τμήματος

Μέλη σε σύνδεση