Καλή πρόοδο...

#1

: Καλή πρόοδο...png (10.24 KiB) Προβλήθηκε 905 φορές

Σε τρίγωνο ABC

η

είναι διχοτόμος και M, N

είναι τα μέσα των πλευρών AB, BC

αντίστοιχα.

Αν οι πλευρές c,b,a (c<b<a)

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

Α) Να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων κυμαίνεται το μέτρο της γωνίας $M\widehat DN.$

Β) Αν $M\widehat DN=75^0$ να υπολογίσετε τις πλευρές a,c

συναρτήσει του

#2

Επαναφορά.

#3

george visvikis έγραψε:Καλή πρόοδο...png
Σε τρίγωνο η είναι διχοτόμος και είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα.

Αν οι πλευρές είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

Α) Να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων κυμαίνεται το μέτρο της γωνίας $M\widehat DN.$

Β) Αν $M\widehat DN=75^0$ να υπολογίσετε τις πλευρές συναρτήσει του

Γιώργο δεν πρόσεξα καλά την εκφώνηση και έκανα υπολογισμός ως έκφραση του a=BC

( εξυπηρετεί καλλίτερα στον "οριζόντιο" σχεδιασμό)

: ξεπαραλημένη.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

Όρια γωνίας : από $60^\circ$ έως $90^\circ$ και όταν είναι $75^\circ$

$\boxed{b = \frac{{\sqrt 3 + 2 - \sqrt {\sqrt 3 + 1} }}{3}a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,c = \frac{{2\sqrt 3 + 1 - \sqrt {4\sqrt 3 + 4} }}{3}a}$

λεπτομέρειες... αργότερα. Στο σχήμα a=16

#4

Επειδή $\dfrac{{BC}}{{BA}} = \dfrac{{DC}}{{DA}} \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{BA + BC}} = \dfrac{{DC}}{{DA + DC}} \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{2AC}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}$ και άρα

$\boxed{DC = CN = NB}\,\,(1)$ και ομοίως $\boxed{AD = AM = MB}\,\,(2)$ . Αν λοιπόν

το έγκεντρο

του $\vartriangle ABC$ , οι AI,CI

θα είναι μεσοκάθετοι στα E,Z

των

.

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο EIZD

έχω $\boxed{x = 180^\circ - \theta = 90^\circ - \dfrac{B}{2}}\,\,(3)$

και προφανώς η γωνία $x < 90^\circ$ . Είναι όμως και η γωνία

οξεία αφού η πιο μεγάλη

γωνία του $\vartriangle ABC$ είναι η

.

: καλή πρόοδο_a.png (21.52 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

Επειδή $\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \dfrac{{4{a^2} + 4{c^2} - {{(2b)}^2}}}{{8ac}} = \dfrac{{4{a^2} + 4{c^2} - {{(a + c)}^2}}}{{8ac}}$ και άρα

$\boxed{cosB = \dfrac{{3({a^2} + {c^2}) - 2ac}}{{8ac}}}\,\,(4)$ . Θα δείξω ότι $\cos B > \dfrac{1}{2}$ και αφού η συνάρτηση

$y = \cos x$ Είναι γνήσια φθίνουσα στο $[0,\frac{\pi }{2}]$ θα προκύψει ότι $B < 60^\circ$ .

Πράγματι: λόγω της (4)

έχω

$\cos B > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{3({a^2} + {c^2}) - 2ac}}{{8ac}} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 3({a^2} + {c^2}) - 2ac > 4ac \Leftrightarrow {(a - c)^2} > 0$

που είναι αληθής. . Έτσι λοιπόν $B < 60^\circ \Leftrightarrow - \dfrac{B}{2} > - 30^\circ \Leftrightarrow 90^\circ - \dfrac{B}{2} > 60^\circ$

ή λόγω και της (3)

$x > 60^\circ$ δηλαδή $\boxed{60^\circ < x < 90^\circ }$ .

: καλή πρόοδο_b_ok.png (23.74 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

b) Ας είναι k > 0

η διαφορά της προόδου τότε $a = b + \kappa \,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = b - k$ . Από το \

Θ συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ , έχω : ${b^2} = {(b + k)^2} + {(b - k)^2} - (b + k)(b - k)\sqrt 3$ .

Από δω έχω $\boxed{k = b\sqrt {3\sqrt 3 - 5} }$ οπότε $\left\{ \begin{gathered} a = b(1 + \sqrt {3\sqrt 3 } - 5) \hfill \\ c = b(1 - \sqrt {3\sqrt 3 } - 5) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Καλή πρόοδο...

Καλή πρόοδο...

Re: Καλή πρόοδο...

Re: Καλή πρόοδο...

Re: Καλή πρόοδο...

Μέλη σε σύνδεση