Πες τον καλό το λόγο

KARKAR · #1

: Πες τον καλό το λόγο.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

Το τρίγωνο του σχήματος είναι τύπου : a<img alt=":b:" class="emoji smilies" draggable="false" src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/s9e/emoji-assets-twemoji@11.2/dist/svgz/1f171.svgz">c=6:5:4

. Στη διχοτόμο

παίρνουμε

τμήματα : $AS=SP=\dfrac{c}{4}$ . Οι BS , BP

τέμνουν την

στα σημεία Q,T

αντίστοιχα .

Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AQ}{QT}$ .

Βρείτε τη μικρότερη ακέραια τιμή του

, ώστε το μήκος του

να είναι επίσης ακέραιος .

#2

α) Με $a = 6k\,\,,\,\,b = 5k\,\,,c = 4k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k > 0$ έχω

$\left\{ \begin{gathered} EB = \frac{{8k}}{3} \hfill \\ EC = \frac{{10k}}{3} \hfill \\ A{E^2} = AB \cdot AC - EB \cdot EC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{AE = EC = \frac{{10k}}{3}}\,\,(1)$ συνεπώς $PE = \dfrac{{10k}}{3} - 2k \Rightarrow \boxed{PE = \frac{{4k}}{3}}\,\,(2)$ Τώρα με Θ. Μενελάου στο $\vartriangle AEC$ και

διατέμνουσες $\overline {BSQ} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {BPT}$ έχω :

$\boxed{\frac{{CT}}{{TA}} = \frac{3}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\frac{{CQ}}{{QA}} = \frac{{21}}{4}}\,\,(3)$ και μετά εύκολα $\boxed{\frac{{AQ}}{{QT}} = \frac{2}{3}}$ .

Παρατήρηση : Επίσης ισχύει AP = AT

β) Από την (3)

έχω $AQ = \dfrac{4}{{25}}AC$ και άρα με k = 5

έχω $\boxed{\boxed{AQ = 4}}$

( μικρότερη ακεραία τιμή του c=20

)

#3

KARKAR έγραψε:Πες τον καλό το λόγο.pngΤο τρίγωνο του σχήματος είναι τύπου : . Στη διχοτόμο παίρνουμε

τμήματα : $AS=SP=\dfrac{c}{4}$ . Οι τέμνουν την στα σημεία αντίστοιχα .

Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AQ}{QT}$ .

Βρείτε τη μικρότερη ακέραια τιμή του , ώστε το μήκος του να είναι επίσης ακέραιος .

Να συγχαρώ για μία ακόμη φορά τον Θανάση, για τις πολύ ωραίες ασκήσεις που μας τροφοδοτεί

: Πες τον καλό το λόγο.png (14.21 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Έστω

Από εδώ έχουμε ότι $\widehat A=2\widehat C,$ άρα $\displaystyle{AE = EC = \frac{{ab}}{{b + c}} = \frac{{10k}}{3}}$ και επειδή

$\displaystyle{\frac{{AP}}{{PE}} = \dfrac{{2k}}{{\frac{{4k}}{3}}} = \frac{3}{2} = \frac{{b + c}}{a}},$ το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου, οπότε: $\displaystyle{AT = \frac{{bc}}{{a + c}} = 2k = AP}$

Θεώρημα Μενελάου στο APT

με διατέμνουσα BSQ:

$\displaystyle{\frac{{AS}}{{SP}} \cdot \frac{{BP}}{{BT}} \cdot \frac{{QT}}{{AQ}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AQ}}{{QT}} = \frac{{BP}}{{BT}} = \frac{{a + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{AQ}}{{QT}} = \frac{2}{3}}$

$\displaystyle{\frac{{AQ}}{{AT}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{{AQ}}{{2k}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow AQ = \frac{{4k}}{5}},$ άρα η ελάχιστη ακέραιη τιμή είναι για k=5,

δηλαδή $\boxed{c=20}$ και $\boxed{AQ=4}$

Με μικρή χρονική διαφορά από τον αγαπητό φίλο Νίκο (Βλέπω όμως ότι έχουμε διαφορετική λύση)

#4

: Πές τον καλό λόγο.png (32.76 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Οι τενόροι και οι άριες είναι για μια μικρή μερίδα .

Οι περισσότεροι νέοι σήμερα έχουν πάλι άλλα μοντέρνα ακούσματα

Εμείς οι πιο παλιοί θέλουμε να ακούμε του γνωστούς και ανεπανάληπτους συνθέτες

Χατζιδάκη, Θεοδωράκη, Ξαρχάκο , Μαρκόπουλο κ λ. π.

Ε λοιπόν ο είναι ένας από τους πιο πάνω αλλά σε γεωμετρικό επίπεδο .

KARKAR · #5

Ευχαριστώ τους φίλους Γιώργο και Νίκο για τα καλά τους λόγια , με δύο παρατηρήσεις :

1η) Υπερβολές ... αλλά : 2η) Την Πρωταπριλιά βρήκατε να τα πείτε ?

Τι θα λέγατε να παίρναμε την πλευρά AB=5

, οπότε

;

Σημείωση : Η άσκηση στηρίχθηκε στο τρίγωνο με πλευρές 12,15,18

, το οποίο έχει

διχοτόμο AE=10

και συνεπώς AQ=2.4

. Αλλά

, άρα

#6

KARKAR έγραψε:Ευχαριστώ τους φίλους Γιώργο και Νίκο για τα καλά τους λόγια , με δύο παρατηρήσεις :

1η) Υπερβολές ... αλλά : 2η) Την Πρωταπριλιά βρήκατε να τα πείτε ?

Τι θα λέγατε να παίρναμε την πλευρά , οπότε ;

Σημείωση : Η άσκηση στηρίχθηκε στο τρίγωνο με πλευρές , το οποίο έχει

διχοτόμο και συνεπώς . Αλλά , άρα

Πάλι μας εκπλήσσεις (παρόλο ότι πέρασε η Πρωταπριλιά)! Προσωπικά, χωρίς κανένα λόγο θεώρησα ότι ο

είναι ακέραιος.

Συγχαρητήρια για την παγίδα, αυτή τη φορά

Πες τον καλό το λόγο

Πες τον καλό το λόγο

Re: Πες τον καλό το λόγο

Re: Πες τον καλό το λόγο

Re: Πες τον καλό το λόγο

Re: Πες τον καλό το λόγο

Re: Πες τον καλό το λόγο

Μέλη σε σύνδεση