Παραλληλία σε τυχόν τετράπλευρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3960
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Παραλληλία σε τυχόν τετράπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Ιαν 23, 2017 10:10 pm

Παραλληλία σε τυχαίο τετράπλευρο.png
Παραλληλία σε τυχαίο τετράπλευρο.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές
Σε τετράπλευρο ABCD να δειχθεί ότι MN\parallel KL, με M,N τα μέσα των AB,CD αντίστοιχα, L\equiv AC\cap BD και K
το σημείο τομής των εκ των A,B παραλλήλων στις BC,AD αντίστοιχα.


Στάθης

Υ.Σ. Η παραπάνω πρόταση αποτελεί γενίκευση της πρότασης που έχει τεθεί εδώ (χωρίς τη συνθήκη AD=BC και οφείλεται
στον καθηγητή
Alexander Bogomolny


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2030
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Παραλληλία σε τυχόν τετράπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τρί Ιαν 24, 2017 12:43 am

Εύκολη αυτή η γενίκευση. Νομίζω ότι την έχουμε ξαναδεί στο :logo: , ή τουλάχιστον κάποια αναφορά έχει γίνει. Αλλά άντε ψάξε βρες την. :?

\bullet Έστω το σημείο E\equiv AD\cap BC και έχουμε ότι η ευθεία MN περνάει από το μέσον, έστω το P , του EL , από το πλήρες τετράπλευρο ECLDAB , σύμφωνα με το Θεώρημα Gauss-Newton.

Τα σημεία E,\ M,\ K είναι συνευθειακά, λόγω του παραλληλογράμμου AKBE .

Στο τρίγωνο \vartriangle ELK τώρα, από AP = PL και EM = MK συμπεραίνεται ότι PM\equiv MN\parallel LK και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 967
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραλληλία σε τυχόν τετράπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Ιαν 24, 2017 12:52 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Παραλληλία σε τυχαίο τετράπλευρο.pngΣε τετράπλευρο ABCD να δειχθεί ότι MN\parallel KL, με M,N τα μέσα των AB,CD αντίστοιχα, L\equiv AC\cap BD και K
το σημείο τομής των εκ των A,B παραλλήλων στις BC,AD αντίστοιχα.


Στάθης

Υ.Σ. Η παραπάνω πρόταση αποτελεί γενίκευση της πρότασης που έχει τεθεί εδώ (χωρίς τη συνθήκη AD=BC και οφείλεται
στον καθηγητή
Alexander Bogomolny
Καλησπέρα!

Μια προσπάθεια με μιγαδικούς. Με μικρά γράμματα θα συμβολίσουμε τους μιγαδικούς που οι εικόνες τους αντιστοιχούν στα σημεία με τα κεφαλαία. Θα χρειαστούμε τις ακόλουθες προτάσεις

Πρόταση 1: Οι μιγαδικοί z ανήκουν στην ευθεία AB να και μόνο αν ικανοποιούν την
(\overline{a}-\overline{b})z+(b-a)\overline{z} +a\overline{b}-b\overline{a} = 0

Πρόταση 2: AB \parallel CD αν και μόνο αν \dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{\overline{a}-\overline{b}}{\overline{c}-\overline{d}}


Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι \dfrac{n-m}{k-l}=\dfrac{\overline{n}-\overline{m}}{\overline{k}-\overline{l}} (1)

Όπου n = \dfrac{c+d}{2} , m=\dfrac{a+b}{2}. Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε να δείξουμε ότι

\dfrac{(c+d)-(a+b)}{k-l}=\dfrac{(\overline{c}+\overline{d})-(\overline{a}+\overline{b})}{\overline{k}-\overline{l}} \Leftrightarrow

[(c-a)+(d-b)](\overline{k}-\overline{l}) = (k-l)[(\overline{d}-\overline{b})- (\overline{a}-\overline{c})] \Leftrightarrow

\overline{k}(c-a)+\overline{k}(d-b) -\overline{l}(c-a) -\overline{l}(d-b) = k(\overline{d}-\overline{b}) -k(\overline{a}-\overline{c})-l(\overline{d}-\overline{b}) + l(\overline{a}-\overline{c}) \Leftrightarrow

\overline{k}(c-a) +\overline{k}(d-b) -k(\overline{d}-\overline{b}) +k(\overline{a}-\overline{c}) = [\overline{l}(c-a) +l(\overline{a}-\overline{c}) ]+[l(\overline{b}-\overline{d})+\overline{l}(d-b)] (2)

Όμως για το σημείο L σύμφωνα με την πρόταση 1 ισχύουν οι σχέσεις

(\overline{a}-\overline{c})l+(c-a)\overline{l} = -a\overline{c}+c\overline{a}

(\overline{b}-\overline{d})l+(d-b)\overline{l} = -b\overline{d}+d\overline{b}

Αντικαθιστώντας στην (2) έχουμε

\overline{k}(c-a) +\overline{k}(d-b) -k(\overline{d}-\overline{b}) +k(\overline{a}-\overline{c}) = -a\overline{c}+c\overline{a}  -b\overline{d}+d\overline{b} (3)

Από τη πρόταση 2 για το σημείο K έχουμε

\dfrac{a-k}{c-b}=\dfrac{\overline{a}-\overline{k}}{\overline{c}-\overline{b}} \Leftrightarrow

(a-k)(\overline{c}-\overline{b}) = (c-b)(\overline{a}-\overline{k}) \Leftrightarrow -a\overline{c}+\overline{a}c = -a\overline{b} -k\overline{c}+k\overline{b}+c\overline{k}+b\overline{a}-b\overline{k} (4)

Ομοίως έχουμε

\dfrac{d-a}{b-k}=\dfrac{\overline{d}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{k}} \Leftrightarrow

(d-a)(\overline{b}-\overline{k}) = (b-k)(\overline{d}-\overline{a}) \Leftrightarrow -b\overline{d}+\overline{b}d = +a\overline{b} -d\overline{k}-a\overline{k}-k\overline{d}-a\overline{b}-k\overline{a} (5)

Αντικαθιστώντας τις (4), (5) στο δεύτερο μέλος της (3) και κάνοντας τις πράξεις στο πρώτο μέλος και τις απαλοιφές ομοίων όρων καταλήγουμε στην

(3) \Leftrightarrow 0 = -a\overline{b} + a\overline{b} +b\overline{a}-\overline{a}b  \Leftrightarrow 0=0

Οπότε η (1) ισχύει και άρα MN \parallel KL όπως θέλαμε.


Υγ. Είμαι σίγουρος οτι βγαίνει με λιγότερες πράξεις (αν και είναι ρουτίνας), αλλά αυτές μου πρώτο ήρθανε στο μυαλό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες