Πάλι σ ευθεία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6734
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Πάλι σ ευθεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 20, 2017 12:05 pm

Πάλι σ ευθεία.png
Πάλι σ ευθεία.png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές
Σε κύκλο (O) είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD .

Οι διαγώνιοι AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD τέμνονται στο K.

Δεχόμαστε ότι τέμνονται:

1. οι ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC στο M .

2. Τα εφαπτόμενα τμήματα του (O) στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C\,\, στο L.

Δείξετε ότι τα σημεία K,\,\,L,\,\,M ανήκουν στην ίδια ευθεία



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 797
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πάλι σ ευθεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Ιαν 20, 2017 2:36 pm

Αρχικά από την τριγωνομετρική μορφή Ceva στο τρίγωνο MCB με εσωτερικό σημείο το L, παίρνουμε ότι:

\dfrac{\sin{\widehat{LBM}}}{\sin{\widehat{LBC}}}\cdot \dfrac{\sin{\widehat{LCB}}}{\sin{\widehat{LCM}}}\cdot \dfrac{\sin{\widehat{LMC}}}{\sin{\widehat{LMB}}}=1 (1)

Ακόμα ισχύουν από τις εφαπτομένες CL, BL και από το εγγράψιμο ABCD τα εξής:

\widehat{LCB}=\widehat{LBC}=\widehat{CAB}=\widehat{CDB} (2)

\widehat{LBM}=\widehat{DAB}+\widehat{ADB}-\widehat{DBL}=\widehat{ADB} (3)

\widehat{LCM}=\widehat{ADC}+\widehat{CAD}-\widehat{ACL}=\widehat{CAD} (4)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2), (3) και (4) στην (1), προκύπτει ότι:

\dfrac{\sin{\widehat{LBM}}}{\sin{\widehat{LBC}}}\cdot \dfrac{\sin{\widehat{LCB}}}{\sin{\widehat{LCM}}}\cdot \dfrac{\sin{\widehat{LMC}}}{\sin{\widehat{LMB}}}=\dfrac{\sin{\widehat{ADB}}}{\sin{\widehat{CDB}}}\cdot \dfrac{\sin{\widehat{CAB}}}{\sin{\widehat{CAD}}}\cdot \dfrac{\sin{\widehat{LMC}}}{\sin{\widehat{LMB}}}=1

Από την παραπάνω ισότητα: \dfrac{\sin{\widehat{ADB}}}{\sin{\widehat{CDB}}}\cdot \dfrac{\sin{\widehat{CAB}}}{\sin{\widehat{CAD}}}\cdot \dfrac{\sin{\widehat{LMC}}}{\sin{\widehat{LMB}}}=1 και από το αντίστροφο της τριγωνομετρικής του Ceva προκύπτει πως οι ευθείες ML, AC και DB συντρέχουν στο K και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Πάλι σ ευθεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιαν 20, 2017 3:29 pm

Doloros έγραψε: Σε κύκλο (O) είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD .Οι διαγώνιοι AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD τέμνονται στο K.
Δεχόμαστε ότι τέμνονται:
1. οι ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC στο M .
2. Τα εφαπτόμενα τμήματα του (O) στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C\,\, στο L.
Δείξετε ότι τα σημεία K,\,\,L,\,\,M ανήκουν στην ίδια ευθεία
Σε ευθεία.png
Σε ευθεία.png (32.06 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές
Από το εκφυλισμένο εγγεγραμμένο στον κύκλο μη κυρτό εξάγωνο ABBDCC σύμφωνα με το θεώρημα του Pascal τα σημεία AB\cap DC\equiv M,BB\cap CC\equiv L,BD\cap CA\equiv K είναι συνευθειακά, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Στην ίδια ευθεία βρίσκεται κσι το σημείο τομής (έστω N) των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία A,D όπως ομοίως εύκολα αποδεικνύεται


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6734
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πάλι σ ευθεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 22, 2017 5:41 pm

Πάλι σ ευθεία_Απάντηση.png
Πάλι σ ευθεία_Απάντηση.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές
Ας υποθέσουμε ότι είναι P το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC.

Ως προς τον κύκλο (O) η πολική του M είναι η PK, η πολική του L είναι η \overline {PCB}

Συνεπώς η πολική του P θα διέρχεται από τα K ( κατασκευή πολικής) και από τα

M,L.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες