Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 29, 2016 6:25 pm

Locus.1.png
Locus.1.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές
Δύο μεταβλητοί κύκλοι (O,r), (K, R), με R>r τέμνονται στα σημεία M, N και εφάπτονται στα άκρα

σταθερού ευθύγραμμου τμήματος AB=a. Αν \displaystyle{\frac{R} {r}=k}, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M, N.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 29, 2016 11:31 pm

george visvikis έγραψε:Locus.1.png
Δύο μεταβλητοί κύκλοι (O,r), (K, R), με R>r τέμνονται στα σημεία M, N και εφάπτονται στα άκρα

σταθερού ευθύγραμμου τμήματος AB=a. Αν \displaystyle{\frac{R} {r}=k}, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M, N.
Μπορούμε να δείξουμε ότι \dfrac{{N{B^2}}}{{N{A^2}}} = \dfrac{R}{r} = k \Rightarrow \boxed{\dfrac{{NB}}{{NA}} = \sqrt k }

Ο ζητούμενος τόπος είναι τμήμα κύκλου του Απολλωνίου που για κάθε του σημείο

S ισχύει \boxed{\dfrac{{SB}}{{SA}} = \sqrt k }.

Πράγματι

Οι από τα O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K κάθετες στις χορδές NA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NB τις τέμνουν στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z,

τέμνονται δε μεταξύ τους στο T.Επειδή οι TE,TZ είναι μεσοκάθετες στις NA,NB

το Tείναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \vartriangle NAB.

Τώρα θα είναι : \widehat \theta  = {\widehat \theta _1}\,\, ( Υπό χορδής κι εφαπτομένης) και \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}

( Η εγγεγραμμένη το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Άρα \widehat \theta  = \widehat {{\theta _2}} οπότε τα

ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle ZTB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EOA είναι όμοια, συνεπώς :

\dfrac{{ZB}}{{AE}} = \dfrac{{TB}}{{OA}} \Leftrightarrow \dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{{TB}}{{OA}} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{{TB}}{r}}\,\,\,\,(1) . Με όμοιο τρόπο \boxed{\dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{R}{{TA}}}\,\,(2)
gt Bisnikis_29_12_2016.png
gt Bisnikis_29_12_2016.png (43.28 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
Αφού όμως TA = TB αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) θα έχουμε:

\dfrac{{N{B^2}}}{{N{A^2}}} = \dfrac{R}{r} = k \Rightarrow \boxed{\dfrac{{NB}}{{NA}} = \sqrt k } .

Δηλαδή τα M,N ανήκουν σε τμήμα του Απολλώνιου

κύκλου για τα σημεία S του οποίου \boxed{\dfrac{{SB}}{{SA}} = \sqrt k } στο χρόνο τον οποίο οι κύκλοι

(O)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(K) έχουν τουλάχιστο ένα κοινό σημείο .

Απέφυγα το νόμο ημίτονων στο τρίγωνο NAB ή στο τρίγωνο MAB για να έχω μια "καθαρά" γεωμετρική λύση.


Φιλικά, Νίκος


nikkru
Δημοσιεύσεις: 338
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Δεκ 30, 2016 3:50 pm

george visvikis έγραψε:Locus.1.png
Δύο μεταβλητοί κύκλοι (O,r), (K, R), με R>r τέμνονται στα σημεία M, N και εφάπτονται στα άκρα
σταθερού ευθύγραμμου τμήματος AB=a. Αν \displaystyle{\frac{R} {r}=k}, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M, N.
Γεωμετρικός Τόπος Κοινών Σημείων.png
Γεωμετρικός Τόπος Κοινών Σημείων.png (45.56 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές
Ας δούμε άλλη μια γεωμετρική λύση διαφορετική από αυτή που έδωσε ο συνονόματος παραπάνω.

Θεωρώ μονάδα μήκους το AB για διευκόλυνση των πράξεων και ονομάζω T το σημείο τομής των ευθειών AB, OK .

Από τα όμοια τρίγωνα TAO,TBK προκύπτει \frac{TB}{TA}=\frac{BK}{OA}=\frac{R}{\rho}=k δηλαδή TA=\frac{1}{k-1} σταθερό.

Ακόμη OK=\sqrt{(R-\rho)^2+AB^2}=\sqrt{\rho^2(k-1)^2+1} και \frac{OT}{OK}=\frac{AT}{AB}=\frac{1}{k-1} (1).

Από Γ.Π.Θ. στο τρίγωνο OKM έχουμε MK^2=OM^2+OK^2+2OK\cdot OE

άρα \displaystyle{2OE=\frac{MK^2-OM^2-OK^2}{OK}=\frac{R^2-\rho^2-\rho^2(k-1)^2-1}{OK}=\frac{k^2\rho^2-\rho^2-k^2\rho^2+2k\rho^2-\rho^2-1}{OK}=\frac{1-2k\rho^2}{OK}} 2 .

Ομοίως από Γ.Π.Θ. στο τρίγωνο OMT προκύπτει MT^2=MO^2+OT^2-2OT \cdot OE
που λόγω της (2) γίνεται: \displaystyle{MT^2=\rho^2+\frac{1}{(k-1)^2}-OT\frac{1-2k\rho^2}{OK}}

Η τελευταία λόγω της (1) γίνεται: \displaystyle{MT^2=\rho^2+\frac{1}{(k-1)^2}-\frac{1}{k-1}(1-2k\rho^2)=\frac{k}{(k-1)^2}} σταθερό.

Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των κοινών σημείων είναι ο κύκλος κέντρο T και ακτίνα \displaystyle{r=\frac{\sqrt{k}}{k-1}} εκτός των σημείων που αυτός τέμνει την ευθεία AB.

Καλή πρωτοχρονιά .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης