Ισεμβαδικότητα και υπολογισμός

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισεμβαδικότητα και υπολογισμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 17, 2016 6:46 pm

Ισεμβαδικότητα  και  υπολογισμός.png
Ισεμβαδικότητα και υπολογισμός.png (19.5 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές
Τα τρίγωνα ABC,ACD,ADE είναι όμοια ( η σειρά των κορυφών δηλώνει τις ίσες γωνίες ) .

Τα τμήματα BD,CE τέμνονται στο S και τέμνουν τα AC,AD , στα σημεία P,Q αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : (SPC)=(SQD) . Αν AB=16,BC=12,AC=20 , υπολογίστε το (SPC) .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2100
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισεμβαδικότητα και υπολογισμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Νοέμ 19, 2016 12:22 pm

KARKAR έγραψε:Ισεμβαδικότητα και υπολογισμός.pngΤα τρίγωνα ABC,ACD,ADE είναι όμοια ( η σειρά των κορυφών δηλώνει τις ίσες γωνίες ) .

Τα τμήματα BD,CE τέμνονται στο S και τέμνουν τα AC,AD , στα σημεία P,Q αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : (SPC)=(SQD) . Αν AB=16,BC=12,AC=20 , υπολογίστε το (SPC) .

Καλημέρα...


1.\displaystyle{\angle BCD = {90^0} + \angle ACB = {90^0} + \angle ADC = \angle EDC}

\displaystyle{\vartriangle ABC \simeq \vartriangle ACD \simeq \vartriangle ADE \Rightarrow \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{CD}}{{DE}}}.Άρα \displaystyle{\vartriangle BCD \simeq \vartriangle ECD \Rightarrow \angle \omega  = \angle \phi } και \displaystyle{\angle \theta  = \angle x}

\displaystyle{ \Rightarrow \vartriangle EQD \simeq \vartriangle DPC \Rightarrow \frac{{PC}}{{QD}} = \frac{{CD}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow PQ//CD \Rightarrow \left( {PDC} \right) = \left( {QDC} \right)}

Άρα \displaystyle{\boxed{\left( {PCS} \right) = \left( {QSD} \right)}}

2.Επειδή \displaystyle{\angle x = \angle \theta  \Rightarrow \angle DPC = \angle DQE \Rightarrow APSQ} εγγράψιμο άρα \displaystyle{\angle PSC = \angle PAD = \angle BAC \Rightarrow ABCS} εγγράψιμο\displaystyle{ \Rightarrow AS \bot CE}

\displaystyle{\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{20}} = \frac{{20}}{{16}} = \frac{{CD}}{{12}} \Rightarrow {\text{ }}\boxed{AD = 25},\boxed{CD = 15}}

Ακόμη, \displaystyle{\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{ED}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{20}} = \frac{{25}}{{16}} = \frac{{ED}}{{12}} \Rightarrow \boxed{AE = \frac{{125}}{4}},\boxed{ED = \frac{{75}}{4}}}

\displaystyle{EZ \bot CD \Rightarrow \vartriangle EDZ \simeq \vartriangle ABC \Rightarrow \frac{{ED}}{{20}} = \frac{{EZ}}{{12}} = \frac{{DZ}}{{16}} \Rightarrow \frac{{\frac{{75}}{4}}}{{20}} = \frac{{EZ}}{{12}} = \frac{{DZ}}{{16}} \Rightarrow \boxed{EZ = \frac{{45}}{4}},\boxed{DZ = 15}} και με Π.Θ στο \displaystyle{\vartriangle ECZ \Rightarrow {\text{ }}\boxed{CE = \frac{{15\sqrt {73} }}{4}}}

\displaystyle{EN \bot AC \Rightarrow EN = CZ = 30 \Rightarrow \left( {AEC} \right) = \frac{{20 \cdot 30}}{2} = 300 = \frac{{AS \cdot \frac{{15\sqrt {73} }}{4}}}{2} \Rightarrow \boxed{AS = \frac{{160}}{{\sqrt {73} }}}}

\displaystyle{\angle \theta  = \angle x} άρα \displaystyle{{CD}} εφαπτόμενη του περίκυκλου του \displaystyle{\vartriangle ESD \Rightarrow C{D^2} = CS \cdot CE \Rightarrow 225 = CS \cdot \frac{{15\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow \boxed{CS = \frac{{60}}{{\sqrt {73} }}}}

Έστω \displaystyle{PC = y}.Είναι , \displaystyle{\vartriangle AQS \simeq PDC \Rightarrow \frac{{SQ}}{{PC}} = \frac{{AS}}{{CD}} \Rightarrow SQ = \frac{{\frac{{160}}{{\sqrt {73} }}}}{{15}}y \Rightarrow SQ = \frac{{32}}{{3\sqrt {73} }}y}

\displaystyle{PC \cdot PA = CS \cdot CQ \Rightarrow 20y = \frac{{60}}{{\sqrt {73} }}\left( {\frac{{60}}{{\sqrt {73} }} + \frac{{32}}{{3\sqrt {73} }}y} \right) \Rightarrow y = \frac{{180}}{{41}}}

\displaystyle{\frac{{\left( {PSC} \right)}}{{\left( {ACE} \right)}} = \frac{{CP \cdot CS}}{{CA \cdot CE}} \Rightarrow \frac{{\left( {PSC} \right)}}{{300}} = \frac{{\frac{{180}}{{41}} \cdot \frac{{60}}{{\sqrt {73} }}}}{{20 \cdot \frac{{15\sqrt {73} }}{4}}} \Rightarrow \boxed{\left( {PSC} \right) = \frac{{43200}}{{2993}}}}
IY.png
IY.png (30.77 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισεμβαδικότητα και υπολογισμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 19, 2016 8:05 pm

Θα σκιαγραφήσω τον δικό μου υπολογισμό . Αρχικά παραθέτω στο πρώτο σχήμα ένα λήμμα .
Λήμμα  για τραπέζιο.png
Λήμμα για τραπέζιο.png (9.43 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές
Η απόδειξη του λήμματος αφήνεται ως άσκηση ...
Ισεμβαδικότητα  και  υπολογισμός.png
Ισεμβαδικότητα και υπολογισμός.png (23.47 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές
Με νόμο συνημιτόνου στο BCD , (\widehat{BCD}=90^0+\theta ) , βρίσκω το BD και το cos\phi .

Επειδή AP διχοτόμος , εύκολα βρίσκω το BP και πάλι με νόμο συνημιτόνου , το PC .

Η ομοιότητα των τριγώνων APQ,ACD , δίνει την PQ και το λήμμα το (SPC)=\dfrac{43200}{2993}

Μιχάλη , ευχαριστώ που ασχολήθηκες με μια κουραστική και μάλλον άχαρη άσκηση :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης