Τραπέζιο!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1457
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Τραπέζιο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Νοέμ 16, 2016 7:52 pm

Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Να αποδείξετε ότι αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο απέναντι πλευρών AB, \,\, CD διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το ABCD είναι τραπέζιο.


trapezio.png
trapezio.png (9.66 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές
Υ.Γ. Φραγή στον STOPJOHN (ξέρει αυτός γιατί...)


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 795
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τραπέζιο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Νοέμ 16, 2016 11:26 pm

Υποθέτουμε αρχικά ότι η AB δεν είναι παράλληλη στην DC.

Φέρνουμε από το σημείο E παράλληλη στην DC η οποία θα τέμνει τις διαγωνίους AC και BD (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία M και N αντίστοιχα.

Οι MC, EZ και ND αποτελούν δέσμη ευθειών που διέρχονται από το O. Άρα θα ισχύει:

\dfrac{ME}{EN}=\dfrac{DZ}{ZC}=1 \Rightarrow ME=EN

Τα τρίγωνα MEA και ENB θα είναι ίσα γιατί θα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία τους ίση (είναι κατακορυφήν). Άρα θα ισχύει: \widehat{AME} = \widehat{BNE}. Όμως από το τρίγωνο MNO έχουμε \widehat{BNE}= \widehat{AME} +\widehat{AOB} και επομένως \widehat{AOB}=0^o.

Καταλήξαμε λοιπόν σε άτοπο. Άρα η AB είναι παράλληλη στην DC, οπότε το ABCD είναι τραπέζιο (αν επιπλέον AD//BC τότε πρόκειται για παραλληλόγραμμο).
Συνημμένα
τραπέζιο!.png
τραπέζιο!.png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τραπέζιο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 17, 2016 12:11 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Να αποδείξετε ότι αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο απέναντι πλευρών AB, \,\, CD διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το ABCD είναι τραπέζιο.
Τραπέζιο!.png
Τραπέζιο!.png (10.34 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, το τετράπλευρο ABCD πληροί τις υποθέσεις της άσκησης χωρίς όμως να είναι τραπέζιο.
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Καταλήξαμε λοιπόν σε άτοπο. Άρα η AB είναι παράλληλη στην DC, οπότε το ABCD είναι τραπέζιο (αν επιπλέον AD//BC τότε πρόκειται για παραλληλόγραμμο).
Πολύ σωστά λοιπόν ο Διονύσης :clap2: στην ανάρτησή του κάνει τη διόρθωση. Υπενθυμίζω ή μάλλον αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο της Β' Λυκείου: Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3960
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τραπέζιο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 17, 2016 12:15 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Να αποδείξετε ότι αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο απέναντι πλευρών AB, \,\, CD διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το ABCD είναι τραπέζιο.
trapezio.png
Υ.Γ. Φραγή στον STOPJOHN (ξέρει αυτός γιατί...)
Έστω T\equiv AD\cap BC και F το μέσο της OT . Από το πλήρες τετράπλευρο TAOBCD προκύπτει ότι τα σημεία F,E,Z είναι συνευθειακά (ευθεία Gauss) και με E,O,Z συνευθειακά θα είναι T,M,E,O,Zσυνευθειακά. Από το ίδιο πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά T,E,O,Zείναι αρμονική (κάθε διαγώνιος τετραπλεύρου διαιρείται αρμονικά από τις άλλες δύο) οπότε και η δέσμη A.DBCZ είναι αρμονική και με Zτο μέσο της DC\Rightarrow AB\parallel DCκαι το ζητούμενο (ότι το ABCD είναι «τραπέζιο» (πιθανόν και παραλληλόγραμμο) έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: STOPJOHN και 3 επισκέπτες