Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Για σημείο του τόξου , η
είναι η διχοτόμος της . Φέρω . Υπολογίστε το μέγιστο του
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Αν εικάσουμε το αποτέλεσμα , ίσως βρούμε και την λύση . Λοιπόν :
Ας δημιουργήσουμε ένα τέτοιο τρίγωνο : Θεωρούμε το , τέτοιο ώστε : .
Έστω και .
Πρέπει :
. έτσι εντοπίσαμε το . Η εφαπτομένη στο , τέμνει την προέκταση
της στο . Και - τι τύχη ! - η είναι η διχοτόμος της .
Φαίνεται ότι πρόκειται για δύσκολο θέμα . Θεωρήστε τα παραπάνω , αν όχι ως συμβολή στην λύση ,
τουλάχιστον ως ενδιαφέρον υλικό για νέες ασκήσεις !
Ας θεωρήσουμε ότι : . Σύμφωνα με την εικασία , πρέπει .Ας δημιουργήσουμε ένα τέτοιο τρίγωνο : Θεωρούμε το , τέτοιο ώστε : .
Έστω και .
Πρέπει :
. έτσι εντοπίσαμε το . Η εφαπτομένη στο , τέμνει την προέκταση
της στο . Και - τι τύχη ! - η είναι η διχοτόμος της .
Φαίνεται ότι πρόκειται για δύσκολο θέμα . Θεωρήστε τα παραπάνω , αν όχι ως συμβολή στην λύση ,
τουλάχιστον ως ενδιαφέρον υλικό για νέες ασκήσεις !
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Μία παρατήρηση: Για οποιαδήποτε θέση του είναι (Δεν ξέρω αν σημαίνει κάτι. Θα το διερευνήσω).
Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Από το ορθογώνιο τρίγωνο , παίρνουμε : .
Με νόμο συνημιτόνου στο , προκύπτει : ,
οπότε ( τριώνυμο ) : ) .
Και επομένως : .
Είναι λοιπόν :
και με χρήση τριγ. ταυτοτήτων καταλήγουμε στην :
με : , η οποία έχει όντως μέγιστο το , για .
Απομένουν δύο εκκρεμότητες : α) Μήπως μπορούμε να βελτιώσουμε τον τύπο της , ώστε να γίνει διαχειρίσιμη
με παράγωγο και ... β) Πώς προκύπτει ότι στη στιγμή της μεγιστοποίησης , είναι : ;
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Εδώ είναι που λένε : «Το ένα χέρι πλύνει τ' άλλο και τα δυο το πρόσωπο» (για τον Θανάση και για το Γιώργο)
Δεν την είχα προσέξει καθόλου . Κράτησε όμως χρόνια αυτή η κολόνια!!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Σ' ευχαριστώ πολύ Νίκο για το χειροκρότημα. Ούτε εγώ την θυμόμουν αυτή την άσκηση.
Να εικάσω ότι ο Θανάσης εμπνεύστηκε από την παρούσα, την δεν μπορεί να είναι σύμπτωση;
Να εικάσω ότι ο Θανάσης εμπνεύστηκε από την παρούσα, την δεν μπορεί να είναι σύμπτωση;
Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Ασφαλώς Γιώργο , άλλωστε το αναφέρω σαφώς στο # , της δημοσίευσης που παραπέμπεις .
Ο καημός μου πάντως είναι εκείνη η γωνία των
Ο καημός μου πάντως είναι εκείνη η γωνία των
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Δεν είχα προσέξει καθόλου την παραπομπή. Είχα εστιάσει στην σκιαγράφηση της λύσης.
Όσο για τη γωνία, μη βιάζεσαι. Κάτι θα γίνει...
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Υποθέτω ότι και θα δείξω ότι όπου
(η θέση που μεγιστοποιείται το όπως έχει δειχθεί στην #5 με τη βοήθεια της #4).
απ' όπου
Αλλά,
Υψώνω στο τετράγωνο και καταλήγω στην
Πολλαπλασιάζω τους όρους του κλάσματος με και προκύπτει
που αποδεικνύει το ζητούμενο.
(η θέση που μεγιστοποιείται το όπως έχει δειχθεί στην #5 με τη βοήθεια της #4).
απ' όπου
Αλλά,
Υψώνω στο τετράγωνο και καταλήγω στην
Πολλαπλασιάζω τους όρους του κλάσματος με και προκύπτει
που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες