Μέγιστο γινόμενο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Οκτ 29, 2016 8:34 pm

Μέγιστο γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές
Η ON είναι η μεσοκάθετη ακτίνα της διαμέτρου AB=2R ενός ημικυκλίου .

Σημείο S κινείται στο "δεξιό τεταρτοκύκλιο" και η AS τέμνει την ON

στο σημείο P . Για το σημείο T της SB , είναι : PT \parallel AB .

β) Βρείτε τη θέση του S , για την οποία μεγιστοποιείται το γινόμενο : ST \cdot TB

Διαγραφή του ερωτήματος α)
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Οκτ 30, 2016 2:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μέγιστο γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Οκτ 30, 2016 11:23 am

b) Φέρνουμε από το T κάθετη στην AB και έστω K το σημείο τομής τους. Προφανώς τα τρίγωνα SPT και TKB είναι όμοια. Έχουμε:

\dfrac{ST}{KB}=\dfrac{PT}{TB}\Leftrightarrow ST\cdot TB=PT\cdot KB

Όμως το άθροισμα PT+KB είναι σταθερό (PT+KB=R), συνεπώς η μέγιστη τιμή του γινομένου ST\cdot TB=PT\cdot KB είναι όταν OK=KB=PT=\dfrac{R}{2}

Για να προσδιοριστεί το S, αρκεί να προσδιορίσουμε τη θέση του P πάνω στην NO.

Προφανώς \dfrac{SP}{SA}=\dfrac{PT}{AB}=\dfrac{1}{4}. Άρα, SP=\dfrac{PA}{3} (1)

Ακόμη από τα όμοια τρίγωνα APO και PTS, προκύπτει ότι \dfrac{PA}{PT}=\dfrac{AO}{SP}\Leftrightarrow PA\cdot SP=PT\cdot AO=\dfrac{R^2}{2} (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ότι \dfrac{PA^2}{3}=\dfrac{R^2}{2}\Leftrightarrow PA^{2}=\dfrac{3R^2}{2}

Τέλος με πυθαγόρειο στο τρίγωνο APO προκύπτει ότι PO=\dfrac{R}{\sqrt{2}}
Συνημμένα
Μέγιστο γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (15.27 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8043
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 30, 2016 12:26 pm

Ωραία Διονύση . :clap2:


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μέγιστο γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Οκτ 30, 2016 1:30 pm

KARKAR έγραψε:Μέγιστο γινόμενο.pngΗ ON είναι η μεσοκάθετη ακτίνα της διαμέτρου AB=2R ενός ημικυκλίου . Σημείο S κινείται στο "δεξιό τεταρτοκύκλιο" και η AS τέμνει την ON στο σημείο P . Για το σημείο T της SB , είναι : ST \parallel AB .
β) Βρείτε τη θέση του S , για την οποία μεγιστοποιείται το γινόμενο : ST \cdot TB
Ας είναι Q η τέταρτη κορυφή του ορθογωνίου BOPQ .

Τότε από ομοκυκλικότητα των S,Q,B,\left( O \right),P\left( {\angle PSB = \angle PQB = {{90}^0}} \right) \Rightarrow \boxed{\left( {ST} \right) \cdot \left( {TB} \right) = \left( {PT} \right) \cdot \left( {TQ} \right)}:\left( 1 \right).

Με \left( {PT} \right) + \left( {TQ} \right) = \left( {PQ} \right) = \left( {OB} \right) = R = ct προκύπτει ότι \max \left( {\left( {ST} \right) \cdot \left( {TB} \right)} \right) = \max \left( {\left( {PT} \right) \cdot \left( {TQ} \right)} \right) προκύπτει για \left( {PT} \right) = \left( {TQ} \right) = \dfrac{R}{2}

(γνωστή πρόταση: το μέγιστο γινομένου θετικών αριθμών σταθερού αθροίσματος πραγματοποιείται όταν οι αριθμοί γίνουν ίσοι) .
[attachment=0]Μέγιστο γινόμενο..png[/attachment]
Αν SK \bot AB έχουμε : \dfrac{{KO}}{{KA}}\mathop  = \limits^{OP\parallel SK} \dfrac{{SP}}{{SA}}\mathop  = \limits^{PT\parallel AB} \dfrac{{\dfrac{R}{2}}}{{2R}} = \dfrac{1}{4} και συνεπώς η θέση του S προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της καθέτου επί της AB

στο σημείο K που χωρίζει εξωτερικά το τμήμα OA σε λόγο \dfrac{1}{4} με το τόξο BN και η ζητούμενη θέση του S έχει προσδιοριστεί,


Στάθης
Συνημμένα
Μέγιστο γινόμενο..png
Μέγιστο γινόμενο..png (26.39 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστο γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 30, 2016 3:28 pm

Μέγιστο γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές
Ένα σχόλιο για το πρώτο ερώτημα : Είναι εύκολο να δειχθεί , ότι ο λόγος \dfrac{SP}{PA} , συνεπώς

και ο ίσος του \dfrac{ST}{TB} , βαίνει συνεχώς μειούμενος , καθώς το S κινείται από

το B προς το N . Αν έτσι διετύπωνα το ερώτημα , θα ήταν εντάξει . Αυτό όμως

δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η μεταβολή των TB,ST είναι αντίθετης φοράς !

Πράγματι το TB συνεχώς αυξάνει , αλλά το ST προς το τέλος μεν της διαδρομής

μειώνεται , αλλά αρχικά αυξάνει ! Ωραίο μάθημα και σήμερα ...

Δικαιούμαι λοιπόν τώρα να θέσω το ερώτημα : Ποιο είναι το μέγιστο του ST .

Δεν έχω επιχειρήσει ακόμη να απαντήσω , γράφω εν θερμώ !


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Οκτ 30, 2016 8:08 pm

KARKAR έγραψε: Δικαιούμαι λοιπόν τώρα να θέσω το ερώτημα : Ποιο είναι το μέγιστο του ST .
Δεν έχω επιχειρήσει ακόμη να απαντήσω , γράφω εν θερμώ !
Ας επιχειρήσω μια απάντηση με τη βοήθεια της τεχνολογίας.
30-10-2016 Γεωμετρία.jpg
30-10-2016 Γεωμετρία.jpg (16.37 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
Έστω O(0, 0), A(-1, 0), B(1, 0), S(cost, sint), 0<t < \frac{\pi}{2}.

Οπότε \displaystyle SA:\;\;y = \frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}}x + \frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}} και \displaystyle SB:\;\;y = \frac{{\sin t}}{{\cos t - 1}}x - \frac{{\sin t}}{{\cos t - 1}} .

Βρίσκουμε \displaystyle P\left( {0,\;\frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}}} \right) , οπότε \displaystyle T\left( {\frac{{2\cos t}}{{\cos t + 1}},\;\frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}}} \right) .

Άρα \displaystyle ST = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\cos t}}{{\cos t + 1}} - \cos t} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}} - \sin t} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{2{{\cos }^2}t - 2{{\cos }^3}t}}{{{{\left( {\cos t + 1} \right)}^2}}}} .

Με χρήση εργαλείων (Geogebra) προσδιορίζω το μέγιστο για \displaystyle t \cong 0,9745\;\;rad με τιμή περίπου 0,33675.
Συνημμένα
30-10-2016 Γεωμετρία.ggb
(17.21 KiB) Μεταφορτώθηκε 10 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Ιαν 25, 2017 8:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 30, 2016 10:11 pm

KARKAR έγραψε:Μέγιστο γινόμενο.pngΈνα σχόλιο για το πρώτο ερώτημα : Είναι εύκολο να δειχθεί , ότι ο λόγος \dfrac{SP}{PA} , συνεπώς

και ο ίσος του \dfrac{ST}{TB} , βαίνει συνεχώς μειούμενος , καθώς το S κινείται από

το B προς το N . Αν έτσι διετύπωνα το ερώτημα , θα ήταν εντάξει . Αυτό όμως

δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η μεταβολή των TB,ST είναι αντίθετης φοράς !

Πράγματι το TB συνεχώς αυξάνει , αλλά το ST προς το τέλος μεν της διαδρομής

μειώνεται , αλλά αρχικά αυξάνει ! Ωραίο μάθημα και σήμερα ...

Δικαιούμαι λοιπόν τώρα να θέσω το ερώτημα : Ποιο είναι το μέγιστο του ST .

Δεν έχω επιχειρήσει ακόμη να απαντήσω , γράφω εν θερμώ !
Καλησπέρα σε όλους!

Το ίδιο αποτέλεσμα με τον Γιώργο Ρίζο (όπως αναμενόταν άλλωστε), αλλά με διαφορετική προσέγγιση.
Μέγιστο γινόμενο. 2.png
Μέγιστο γινόμενο. 2.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Έστω R=1, OP=x. Από τα όμοια τρίγωνα AOP, SPT:\displaystyle{\frac{x}{{ST}} = \frac{{PA}}{{PT}} \Leftrightarrow ST = \frac{{xPT}}{{PA}} \Leftrightarrow } \boxed{ST = \frac{{xPT}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}

Από δύναμη του σημείου P ως προς τον κύκλο και το εγγράψιμο OPSB, έχουμε:

\displaystyle{AP \cdot PS = 1 - {x^2},AP \cdot AS = 2 \Rightarrow \frac{{PS}}{{AS}} = \frac{{1 - {x^2}}}{2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{PT||AB} } \boxed{PT = 1 - {x^2}}

Άρα: \displaystyle{ST = f(x) = \frac{{x - {x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}, παραγωγίσιμη με \displaystyle{f'(x) = \frac{{2{x^4} + 3{x^2} - 1}}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }}} και εύκολα βρίσκω ότι παρουσιάζει στο

\boxed{{x_0} = \frac{{\sqrt {\sqrt {17}  - 3} }}{2}} μέγιστο ίσο με \boxed{S{T_{\max }} = \frac{{\left( {7 - \sqrt {17} } \right)\sqrt {5 - \sqrt {17} } }}{8}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης