Για Θαλή Α Λυκείου
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Για Θαλή Α Λυκείου
που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο . Έστω το δεύτερο σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο κύκλοι.
Από το φέρνουμε την ημιευθεία έτσι ώστε οι γωνίες και να είναι ίσες. Αν η τέμνει την στο
να αποδείξετε ότι το είναι το μέσον του
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Για Θαλή Α Λυκείου
Για μια καλημέρα στον αγαπητό φίλο μου Δημήτρη ΑπόΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΣΧ2.png
Δίνεται τρίγωνο και θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο . Επίσης θεωρούμε τον κύκλο
που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο . Έστω το δεύτερο σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο κύκλοι.
Από το φέρνουμε την ημιευθεία έτσι ώστε οι γωνίες και να είναι ίσες. Αν η τέμνει την στο
να αποδείξετε ότι το είναι το μέσον του
εγγράψιμο σε κύκλο (έστω κέντρου ) και έστω και με .
Από
είναι ισοσκελές οπότε η διάμεσος είναι και ύψος ,
άρα η διέρχεται από το κέντρο του είναι το απόστημα στη χορδή του
το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Με αδελφική αγάπη
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Για Θαλή Α Λυκείου
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΣΧ2.png
Δίνεται τρίγωνο και θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο . Επίσης θεωρούμε τον κύκλο
που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο . Έστω το δεύτερο σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο κύκλοι.
Από το φέρνουμε την ημιευθεία έτσι ώστε οι γωνίες και να είναι ίσες. Αν η τέμνει την στο
να αποδείξετε ότι το είναι το μέσον του
Καλημέρα.
Πρώτο βήμα.
Έστω τα μέσα των και τα κέντρα των κύκλων που διέρχονται
από τα ζεύγη , κι εφάπτονται των αντίστοιχα.
Αν το άλλο κοινό σημείο των κύκλων αυτών και τα αντιδιαμετρικά του
στους κύκλους τα σημεία ως γνωστό ανήκουν στην ίδια ευθεία
και μάλιστα ( ασκησούλα με απλές διάφορες αποδείξεις).
Αν τώρα το μέσο του προφανώς το είναι το περίκεντρο του .
Δεύτερο βήμα:
Φέρνουμε τώρα τη ημιευθεία με . Επειδή ( χορδής κι εφαπτομένης) θα είναι
που μας εξασφαλίζει ότι και το ( τομή των ) ανήκει στο περιγεγραμένο κύκλο , κέντρου , του .
Μα τότε το , λόγω της είναι απόστημα στη χορδή του κύκλου αυτού και άρα .
Φιλικά Νίκος
Επανέρχομαι στο αίτημα οι θεματοδότες ( αν το θέμα ανήκει στους νέους ειδικούς φακέλους ) να καθορίζει το χρόνο φραγής .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Για Θαλή Α Λυκείου
Αφού ευχαριστήσω τους πολύ καλούς φίλους Στάθη και Νίκο για τις ωραίες λύσεις, να πω ότι μόλις είδα πως δεν άλλαξα τα γράμματα στο σχήμα που έδωσα (αυτά που έδωσε το Geogebra). Έτσι, στην θέση του Ζ είναι το D και στην θέση του Η το Ε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Για Θαλή Α Λυκείου
Ας δούμε και μια ακόμα λύση:ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΣΧ2.png
Δίνεται τρίγωνο και θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο . Επίσης θεωρούμε τον κύκλο
που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο . Έστω το δεύτερο σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο κύκλοι.
Από το φέρνουμε την ημιευθεία έτσι ώστε οι γωνίες και να είναι ίσες. Αν η τέμνει την στο
να αποδείξετε ότι το είναι το μέσον του
Είναι γων.γων (από χορδή και εφαπτομένη) και γωνγων (χορδή και εφαπτομένη). Άρα τα τρίγωνα είναι
όμοια και άρα (1)
Από την ομοιότητα των πιο πάνω τριγώνων, έχουμε ότι γωνγων και άρα γωνγων. (2)
Επίσης αφού γωνγων , άρα θα είναι και γωνγωνγων. Συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα
γωνγων , από όπου και προκύπτει ότι γωνγων . (3)
Από τις σχέσεις (2) , (3) έχουμε ότι και τα τρίγωνα είναι όμοια. Άρα , (4)
Από τις σχέσεις (1),(4) έπεται ότι και άρα
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Για Θαλή Α Λυκείου
Καλημέρα σε όλους .
Μια προσέγγιση με αναζήτηση ίσων τριγώνων και με τις ομόλογες πλευρές τους. Με βοηθό και το σχήμα : Έχουμε ενώ και (σχέση χορδής κι' εφαπτομένης με εγγεγραμμένη).
Άρα , όπως αναφέρθηκε ήδη, το τετράπλευρο είναι πλέον .. εγγεγραμμένο .
Η τέμνει τον κύκλο αυτό στο . Ας συγκρίνουμε τα τρίγωνα .
... (σχέση χορδής κι' εφαπτομένης με εγγεγραμμένη) ενώ άρα και επιπλέον τόξα :
οπότε και χορδές : . Συνεπώς τα εν λόγω τρίγωνα είναι ίσα (κριτήριο Γ-Π-Γ) και τελικά .
Φιλικά Γιώργος.
Μια προσέγγιση με αναζήτηση ίσων τριγώνων και με τις ομόλογες πλευρές τους. Με βοηθό και το σχήμα : Έχουμε ενώ και (σχέση χορδής κι' εφαπτομένης με εγγεγραμμένη).
Άρα , όπως αναφέρθηκε ήδη, το τετράπλευρο είναι πλέον .. εγγεγραμμένο .
Η τέμνει τον κύκλο αυτό στο . Ας συγκρίνουμε τα τρίγωνα .
... (σχέση χορδής κι' εφαπτομένης με εγγεγραμμένη) ενώ άρα και επιπλέον τόξα :
οπότε και χορδές : . Συνεπώς τα εν λόγω τρίγωνα είναι ίσα (κριτήριο Γ-Π-Γ) και τελικά .
Φιλικά Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες