Πολύτροπη ισότητα

KARKAR · #1

: Πολύτροπη ισότητα.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με

, θεωρούμε σημείο

της

, ώστε :

και τα μέσα M, N , L

, των τμημάτων AB , BC , PN

, αντίστοιχα . Αν η

τέμνει την

στο σημείο

και την προέκταση της

στο σημείο

, δείξτε ότι : ST=TL

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 27, 2025 6:23 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με , θεωρούμε σημείο της , ώστε :

και τα μέσα , των τμημάτων , αντίστοιχα . Αν η τέμνει την στο σημείο

και την προέκταση της στο σημείο , δείξτε ότι : .

Με Αναλυτική είναι απλή: Είναι $A(0,0), \, C(8,0), \, B(0,6), \, P(0,2)$ , άρα τα μέσα είναι $M(4,0), \, N(4,3), \, L(2, \frac {5}{2})$ .

Άρα οι ευθείες $ML, \, CB$ είναι αντίστοιχα οι $y= -\dfrac {5}{4}(x-4), \, y= -\dfrac {3}{4}(x-8)$ . Επομένως αμέσως βρίσκουμε ότι T(0,5)

(ως τομή της πρώτης και της x=0

) και όμοια $S(-2, \frac {15}{2})$ . Έχουμε λοιπόν

$ST^2= (-2-0)^2+ (\frac {15}{2}-5)^2= \frac {41}{4}$ που είναι ίσο με το $TL^2= (0-2)^2+(5 -\frac {5}{2})^2= \frac {41}{4}$

(Ας προσθέσω ότι και η

είναι ίση με τις προηγούμενες αφού $LM^2= (2-4)^2+ (\frac {5}{2}-0)^2= \frac {41}{4}$ )

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 27, 2025 6:23 pm
Πολύτροπη ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με , θεωρούμε σημείο της , ώστε :

και τα μέσα , των τμημάτων , αντίστοιχα . Αν η τέμνει την στο σημείο

και την προέκταση της στο σημείο , δείξτε ότι : .

Είναι $6=AB=//2MN\Rightarrow MN=3=PT\Rightarrow BT=1$ και προφανώς TL=LM

$BT//NM \Rightarrow \dfrac{ST}{SM}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{ST}{ST+2TL}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow ST=TL$

: Πολύτροπη ισότητα.png (17.58 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

Πολύτροπη ισότητα

Πολύτροπη ισότητα

Re: Πολύτροπη ισότητα

Re: Πολύτροπη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση