Και γύρω γύρω τρίγωνο

[αρψ2400]

Έστω τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ .Μπορεί πάντα να εγγραφεί σε τρίγωνο με δοσμένες, και σε δοσμένη διάταξη , γωνίες;(Τα Α ,Β, Γ να βρίσκονται σε πλευρές απέναντι από συγκεκριμένες γωνίες).

[KARKAR]

Τριγύρω.png (30.5 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές

Ας πούμε ότι η κορυφή βρίσκεται στην πλευρά απέναντι από γωνία έστω ,

όμοια η απέναντι από γωνία έστω . Τότε προφανώς υπάρχουν άπειρες θέσεις

για το τρίγωνο . Αυτό είναι το νόημα ή η άσκηση ζητά κάτι άλλο ;

[αρψ2400]

Τριγύρω.pngΑς πούμε ότι η κορυφή βρίσκεται στην πλευρά απέναντι από γωνία έστω ,

όμοια η απέναντι από γωνία έστω . Τότε προφανώς υπάρχουν άπειρες θέσεις

για το τρίγωνο . Αυτό είναι το νόημα ή η άσκηση ζητά κάτι άλλο ;

Αυτή ,αλλά μαζί με την απάντηση στο θέμα ''τομές με λόγο '' δίνεται απάντηση στο ερώτημα γενίκευση που έθεσα στο τέλος του δικού σας θέματος ΄΄παραγωγή ισόπλευρου΄΄:''Αν το σημείο Μ είναι οπουδήποτε και οι γωνίες του τριγώνου MST είναι οσοδήποτε ;(Εννοώ δίνονται ο λόγος ΒΜ/ΜC και οι γωνίες του MST)''.Λύνουμε το πρόβλημα ανάποδα και μετά το φέρνουμε με κλίμακα στο δοθέν .Η λύση του κυρίου visviki εξηγεί και γιατί όταν το τρίγωνο έχει γωνία Α=120 μοίρες το σημείο Μ είναι υποχρεωτικά στη διχοτόμο.(Η διάκεντρος περνάει από το σημείο τομής των τριών κύκλων .Οι δύο φαίνονται στην παραπάνω κατασκευή σας)

[KARKAR]

Τριγύρω.png (41.09 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Το τρίγωνο των κέντρων με τις δοθείσες γωνίες , είναι όντως μοναδικό ( και κατασκευάσιμο ) .

[αρψ2400]

M σημείο της βάσης BC , τριγώνου ABC . Εντοπίστε σημεία S , T ,
των πλευρών AB , AC αντίστοιχα , τέτοια ώστε το τρίγωνο MST να έχει δοσμένες γωνίες .

Είναι πάντοτε δυνατό ξεκινώντας από το ΜST και γράφοντας τα τόξα με τις γωνίες του ΑΒC όπως στην παρούσα συζήτηση . Επιλέγουμε το Μ στην επιθυμητή θέση διατηρώντας την αναλογία ΒΜ/ΜC όπως στη συζήτηση 'τομές με λόγο'. Φέρνουμε το σχήμα στην κλίμακα του δοθέντος ΑBC.
Η θέση του Μ δεν μπορεί να επιλεχθεί αυθαίρετα όταν οι γωνίες Μ και Α είναι παραπληρωματικές .Τότε η κατασκευή 'τομές με λόγο' δεν είναι εφικτή αφού η διάκεντρος των δύο κύκλων διέρχεται από το σημείο τομής των κύκλων .Αυτό συμβαίνει διότι οι 3 κύκλοι της παρούσας συζήτησης τέμνονται στη κορυφή Μ (Ο και Ν του παρακάτω σχήματος ,αφού έχουμε εγγράψιμο τετράπλευρο (βλ.σχ.)