Άριστη σταθερότητα

KARKAR · #1

: Άριστη σταθερότητα.png (6.19 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές

Στο τρίγωνο ABC

με :

, το

είναι ύψος . Εκατέρωθεν του

, θεωρούμε σημεία S , T

, τέτοια ώστε :

ST =d

(σταθερό ) και υψώνουμε τα κάθετα τμήματα SP , TQ

. Δείξτε ότι το άθροισμα : SP+PA+AQ+QT

είναι σταθερό . Εφαρμογή : Για : BC=12 , AM=9

, υπολογίστε το

ώστε :

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 30, 2024 12:36 pm
Άριστη σταθερότητα.pngΣτο τρίγωνο με : , το είναι ύψος . Εκατέρωθεν του , θεωρούμε σημεία , τέτοια ώστε :

(σταθερό ) και υψώνουμε τα κάθετα τμήματα . Δείξτε ότι το άθροισμα :

είναι σταθερό . Εφαρμογή : Για : , υπολογίστε το ώστε : .

: Άριστη σταθερότητα.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{SP}}{h} = \frac{{BS}}{{BM}},\frac{{QT}}{h} = \frac{{TC}}{{MC}} \Rightarrow \frac{{SP + QT}}{h} = \frac{{2(a - d)}}{a}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{AP}}{b} = \frac{{SM}}{{BM}},\frac{{AQ}}{b} = \frac{{MT}}{{MC}} \Rightarrow \frac{{PA + AQ}}{b} = \frac{{2d}}{a}$

Άρα, $\displaystyle SP + PA + AQ + QT = \frac{{2h(a - d) + 2bd}}{a},$ που είναι σταθερό.

Για BC=12 , h=9,

είναι $b=3\sqrt{13},$ οπότε $\displaystyle 20 = \frac{{18(12 - d) + 6d\sqrt {13} }}{{12}} \Leftrightarrow$ $\boxed{d=3+\sqrt{13}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 30, 2024 12:36 pm
Στο τρίγωνο με : , το είναι ύψος . Εκατέρωθεν του , θεωρούμε σημεία , τέτοια ώστε :

(σταθερό ) και υψώνουμε τα κάθετα τμήματα . Δείξτε ότι το άθροισμα :

είναι σταθερό . Εφαρμογή : Για : , υπολογίστε το ώστε : .

.
Όταν το

μετακινηθεί σε νέα θέση S'T'

του ιδίου μήκους, θα ισχύει προφανώς SS'= TT'

. Από αυτό εύκολα έπεται ότι τα γραμμοσκιασμένα ορθογώνια τρίγωνα UPP', VQQ'

είναι ίσα. Άρα PP'=QQ'

και

.

Παρατηρούμε τώρα ότι στην μετακίνηση αυτή, το αριστερό μέρος της τεθλασμένης γραμμής έχασε μήκος PP'

αλλά κέρδισε UP'

. Από την άλλη, το δεξί μέρος έχασε μήκος

και κέρδισε QQ'

. Όμως από τις (*)

βλέπουμε όσο κέρδισε ή έχασε από την μία της πλευρά, το αναπλήρωσε από την άλλη. Συνεπώς η τεθλασμένη γραμμή δεν άλλαξε μήκος.
.

#4

Καλή Χρονιά σε όλους τους φίλους στο

: 01-1-2025 Γεωμετρία.jpg (33.36 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

Στο

$\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{{PK}}{{AP}} \Leftrightarrow AP = \frac{{PK}}{{\eta \mu \varphi }}$ (1)

Στο ALQ

$\displaystyle \eta \mu \varphi =\frac{LQ}{AQ}\Leftrightarrow AQ=\frac{LQ}{\eta \mu \varphi }$ (2)

Στο BSP

$\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{{BS}}{{PS}} \Leftrightarrow PS = \frac{{BS}}{{\varepsilon \varphi \varphi }}$ (3)

Στο QTC

$\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{{TC}}{{QT}} \Leftrightarrow QT = \frac{{TC}}{{\varepsilon \varphi \varphi }}$ (4)

Προσθέτοντας τις παραπάνω ισότητες, έχουμε $\displaystyle AP + PS + QT + AQ = \frac{{PK + LQ}}{{\eta \mu \varphi }} + \frac{{BS + TC}}{{\varepsilon \varphi \varphi }} = \frac{d}{{\eta \mu \varphi }} + \frac{{BC - d}}{{\varepsilon \varphi \varphi }}$ , σταθερό.

Για BC = 12,AM = 9

είναι $\displaystyle {\rm A}{\rm B} = \sqrt {{9^2} + {6^2}} = 3\sqrt {13}$ και $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{6}{9} = \frac{2}{3},\;\;\eta \mu \varphi = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$ ,

οπότε $\displaystyle 20 = \frac{{d\sqrt {13} }}{2} + \frac{{36 - 3d}}{2} \Leftrightarrow d = 3 + \sqrt {13}$ .

Άριστη σταθερότητα

Άριστη σταθερότητα

Re: Άριστη σταθερότητα

Re: Άριστη σταθερότητα

Re: Άριστη σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση