Κύκλος επί κύκλου

[KARKAR]

Κύκλος επί κύκλου.png (23.55 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Πάνω σε κύκλο θεωρούμε διαδοχικά σημεία . Ο κύκλος , τέμνει την

στο σημείο . Δείξτε ότι ο κύκλος , έχει το κέντρο του πάνω στον .

Αν δεν το έχετε κάνει ήδη , αποδείξτε και ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

[Mihalis_Lambrou]

Κύκλος επί κύκλου.pngΠάνω σε κύκλο θεωρούμε διαδοχικά σημεία . Ο κύκλος , τέμνει την

στο σημείο . Δείξτε ότι ο κύκλος , έχει το κέντρο του πάνω στον .

Αν δεν το έχετε κάνει ήδη , αποδείξτε και ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

.
Φέρνω την , και έστω ότι αυτή τέμνει τον κύκλο στο . Θα δείξω ότι το είναι το κέντρο του κύκλου , που έτσι απαντάμε και στα δύο ερωτήματα. 'Εχουμε

(άμεσα από το εγγράψιμμο και το ισοσκελές ), οπότε το είναι ισοσκελές με .

Επίσης, . Άρα , οπότε ισοσκελές με .

Από τα δύο συμπεράσματα έπεται ότι είναι το κέντρο του κύκλου , όπως θέλαμε.

[Doloros]

Κύκλος επί κύκλου.pngΠάνω σε κύκλο θεωρούμε διαδοχικά σημεία . Ο κύκλος , τέμνει την

στο σημείο . Δείξτε ότι ο κύκλος , έχει το κέντρο του πάνω στον .

Αν δεν το έχετε κάνει ήδη , αποδείξτε και ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Πρώτα - πρώτα , . Οι κύκλοι έχουν κοινή χορδή , έτσι αν φέρω την μεσοκάθετο του αυτή θα περνά από το κέντρο του .

Ας είναι δε το σημείο αυτής ( της μεσοκαθέτου ) με τον που βρίσκεται μέσα στον . Τότε και άρα στο εγγράψιμο τετράπλευρο ,

η διχοτομεί την οπότε θα είναι και μεσοκάθετος του ισοσκελούς τριγώνου , συνεπώς το είναι το περίκεντρο του .
.

Κύκλος επί κύκλου_b ερώτημα.png (27.36 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

.
Αν το άλλο σημείο τομής της με τον , ως γνωστό τα τρίγωνα είναι όμοια,

οπότε το τετράπλευρο είναι χαρταετός κι έτσι η είναι μεσοκάθτος στο και θα διέρχεται από το