Χρήσιμη και η τέταρτη κορυφή

[KARKAR]

Χρήσιμη και η τέταρτη.png (15.58 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Το είναι παραλληλόγραμμο και έχουμε γράψει τους κύκλους : και .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία . Δείξτε ότι : .

[george visvikis]

Χρήσιμη και η τέταρτη.pngΤο είναι παραλληλόγραμμο και έχουμε γράψει τους κύκλους : και .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία . Δείξτε ότι : .

H επανατέμνει τον κύκλο στο και η τον κύκλο στο Αρκεί να δείξω ότι τα τρίγωνα

είναι ίσα, δηλαδή ότι αφού ήδη έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία.

Όλες χρήσιμες.png (21.46 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

άρα τα είναι συνευθειακά.

και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

[giannimani]

equal_seg.png (27.01 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Έστω , τα μέσα των , αντίστοιχα.
Αν το μέσο της διακέντρου , τότε από το ορθογώνιο τραπέζιο είναι .
Λόγω του παραλληλογράμμου , τα σημεία είναι , , συνευθειακά.
Επομένως, .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Χρήσιμη και η τέταρτη.pngΤο είναι παραλληλόγραμμο και έχουμε γράψει τους κύκλους : και .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία . Δείξτε ότι : .

Έστω αντιδιαμετρικά του και

Επειδή ,είναι .Ακόμη, μεσοκάθετη της κοινής χορδής

Αλλά μέσον της ,άρα κι επίσης

Έτσι, συνευθειακά με μέσον της και στο τραπέζιο η

είναι διάμεσος,άρα μεσοκάθετη της οπότε

Ίσα τμήματα.png (55.53 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

[Doloros]

Χρήσιμη και η τέταρτη.pngΤο είναι παραλληλόγραμμο και έχουμε γράψει τους κύκλους : και .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία . Δείξτε ότι : .

Ας είναι το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλων και το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου .

Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος στην στο σημείο και . Άμεση συνέπεια:

Πάντα και έστω το άλλο σημείο τομής του σταθερού κύκλου με την μεταβλητή ευθεία .

Χρήσιμη και η τέταρτη κορυφή_2.png (26.83 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

Η ευθεία τέμνει ακόμα τους αρχικούς κύκλους στα και το είναι μέσο του .

Το είναι ως γνωστό τραπέζιο και μάλιστα δισορθογώνιο, έτσι η είναι διάμεσός του .

Άρα είναι μεσοκάθετός στο , οπότε

Βλέπω και είμαι στο ίδιο μήκος κύματος με το Μιχάλη , χαίρομαι που έχουμε συντονιστεί !