Αξιοπρόσεκτη σταθερότητα

KARKAR · #1

: Αξιοπρόσεκτη σταθερότητα.png (13.76 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Στην διάμετρο AOB=2r

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σταθερό σημείο

, ώστε :

και γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο το ημικύκλιο διαμέτρου

. Σε σημείο

, το οποίο κινείται επί της

,

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τα ημικύκλια , στα σημεία E , F

. Η

τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο

.

Ο κύκλος , ο οποίος διέρχεται από τα E , F , P

έχει κέντρο

. Δείξτε ότι το τμήμα

έχει σταθερό μήκος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 02, 2022 8:12 am
Αξιοπρόσεκτη σταθερότητα.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σταθερό σημείο , ώστε :

και γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο το ημικύκλιο διαμέτρου . Σε σημείο , το οποίο κινείται επί της ,

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τα ημικύκλια , στα σημεία . Η τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο .

Ο κύκλος , ο οποίος διέρχεται από τα έχει κέντρο . Δείξτε ότι το τμήμα έχει σταθερό μήκος .

1. Θα δείξω ότι τα σημεία F,K,B

ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Πράγματι, $A{F^2} = AD \cdot AB = 2rAD$ ( Θ Ευκλείδη στο $\vartriangle FAB$ ) και $AE \cdot AP = AD \cdot AB = 2rAD$ ( το τετράπλευρο EDBP

είναι εγγράψιμο ).

Συνεπώς έχω $A{F^2} = AE \cdot AP\,\,\,\,\left( 1 \right)$ που μας εξασφαλίζει ότι η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {K,m} \right)$ . Δηλαδή $AF \bot FK$ .

Όμως και ή $BF \bot FK$ γιατί η $\widehat {AFB}$ βαίνει στο ημικύκλιο $\left( {O,r} \right)$ . Αναγκαστικά τώρα τα σημεία F,K,B

ανήκουν στην ίδια ευθεία .

: Αξιοπρόσεκτη σταθερότητα.png (43.32 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

2. Αβίαστα προκύπτει ότι όλες οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες οπότε τα ισοσκελή τρίγωνα $OAP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KFP$ είναι όμοια με άμεση συνέπεια :

$\vartriangle AFP \approx \vartriangle OKP$ ( έχουν τις $\widehat {FPA} = \widehat {KPO}$ και τις πλευρές τους ανάλογες)

Από την πιο πάνω ομοιότητα έχω : $\dfrac{{AF}}{{OK}} = \dfrac{{FP}}{{KP}} = \dfrac{{AP}}{{OP}} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{y} = \dfrac{{FP}}{m} = \dfrac{{AP}}{r}$ απ’ όπου:

$\left\{ \begin{gathered} y = \frac{{mAF}}{{FP}} \hfill \\ y = \frac{{rAF}}{{AP}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {y^2} = \dfrac{{mrA{F^2}}}{{FP \cdot AP}}\,\,\,$ ή λόγω της $\left( 1 \right)$ , ${y^2} = mr\dfrac{{AE}}{{FP}}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Έστω τώρα

το άλλο σημείο ( εκτός του

) του $\left( {K,m} \right)$ με την

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $EAC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PFH$ είναι όμοια άρα : $\dfrac{{AE}}{{FP}} = \dfrac{d}{{2m}}$ και η $\left( 2 \right)$ δίδει : $\boxed{{y^2} = \frac{{rd}}{2}}$ .

abgd · #3

: Stathero tmima.png (114.58 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Φέρνουμε την $\displaystyle{BF}$ . Με τη βοήθεια των σημειωμένων γωνιών του σχήματος είναι εύκολο να δούμε ότι: $\displaystyle{\omega+\phi=90^o}$
Άρα $\displaystyle{\widehat{FEN}=90^o}$ , οπότε το $\displaystyle{K}$ ανήκει στην $\displaystyle{BF}$

Έστω $\displaystyle{AD=x}$ και $\displaystyle{\rho}$ η ακτίνα του κύκλου $\displaystyle{(K,KF)}$

Ακόμα, $\displaystyle{a=\sqrt{DB}=\sqrt{2r-x}, \ \ b=\sqrt{DC}=\sqrt{d-x}}$

Στα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{ACE}$ , $\displaystyle{AFB}$ είναι:

$\displaystyle{ED= b\sqrt{x}}$

$\displaystyle{AFB}$ είναι: $\displaystyle{FD=a\sqrt{x}}$ και $\displaystyle{BF=a\sqrt{2r}}$

και έτσι $\displaystyle{FE=(a-b)\sqrt{x}}$

$\displaystyle{EN//BD}$ οπότε $\displaystyle{\frac{FE}{FD}=\frac{FN}{FB}}$

Από την αναλογία αυτή και με τη βοήθεια των παραπάνω προκύπτει η ακτίνα $\displaystyle{\rho}$ συναρτήσει του $\displaystyle{x}$

Είναι $\displaystyle{\rho=\sqrt{2r}\frac{a-b}{2}}$

Ακόμη $\displaystyle{KB=BF-\rho=....=\sqrt{2r}\frac{a+b}{2} }$

Παίρνοντας τώρα τη δύναμη του σημείου $\displaystyle{K}$ στον κύκλο $\displaystyle{(O,r)}$ έχουμε

$\displaystyle{KB\cdot KF =r^2-OK^2 \Rightarrow OK^2=r^2-KB\cdot \rho =r^2-r\frac{a^2-b^2}{2}=... =\frac{rd}{2}}$

Αξιοπρόσεκτη σταθερότητα

Αξιοπρόσεκτη σταθερότητα

Re: Αξιοπρόσεκτη σταθερότητα

Re: Αξιοπρόσεκτη σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση