Συνευθειακότητα από τομές εφαπτομένων και πλευρών τριγώνου επαφών

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Συνευθειακότητα από τομές εφαπτομένων και πλευρών τριγώνου επαφών.png (48.06 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Έστω τρίγωνο και ας είναι και τα σημεία επαφής του έγκυκλου με τις πλευρές και τα μέσα των πλευρών αυτών αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι αν είναι το σημείο τομής της εκ του δεύτερης (εκτός της πλευράς) εφαπτόμενης του έγκυκλου με την και ομοίως ορίσουμε τα τότε συνευθειακά

[vittasko]

Έστω , τα σημεία αντί των της εκφώνησης, για τα οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι συνευθειακά.

Έστω , τα δεύτερα εκτός των , σημεία επαφής των εφαπτομένων του έγκυκλου , από τα σημεία , αντιστοίχως.

Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , τέμνει την στο σημείο έστω , το οποίο ταυτίζεται με το ισοτομικό σημείο του , λόγω και .

Από προκύπτει ότι η ευθεία περνάει από το αντιδιαμετρικό σημείο έστω , του σημείου .

Η ευθείες τώρα, ταυτίζονται ως γνωστό αποτέλεσμα το οποίο αποδειχκνύεται εύκολα.

Ομοίως, οι ευθείες περνάνε από τα σημεία αντιστοίχως, ως τα ισοτομικά σημεία των , επί των πλευρών .

Ισχύει και το σημείο ταυτίζεται με το Σημείο Nagel του δοσμένου τριγώνου .

Συβευθειακότητα από τομές εφαπτομένων και πλευρών τριγώνου επαφών.

f=178 t=70640.PNG (30.9 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και επειδή περνάει από το σημείο , έχουμε ότι και η Πολική ευθεία του ως προς τον , περνάει από το σημείο .

Η ευθεία δηλαδή, που συνδέει το σημείο επαφής της εφαπτομένης του κύκλου από το σημείο , με το σημείο , ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του ως προς τον κύκλο .

Επειδή όμως η ευθεία περνάει από το σημείο , προκύπτει ότι το σημείο ανήκει και στην Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο , η οποία ως γνωστό είναι κάθετη επί την ευθεία στο σημείο έστω αυτής, ως το αρμονικό συζυγές του , ως προ τα σημεία , τομής του κύκλου από την ευθεία .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι και τα σημεία και , ανήκουν επίσης στην Πολική ευθεία του ως προς τον .

Συμπεραίνεται έτσι, ότι τα σημεία είναι συνευθείακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το πρόβλημα αυτό έρχεται από το παρελθόν και η παραπάνω απόδειξη είναι μετάφραση αυτής που έχει δημοσιευτεί πριν 14 χρόνια στο φόρουμ AoPS
( https://artofproblemsolving.com/communi ... g_and_hard ).

Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης θα βρει εκεί και μία απόδειξη της συντρέχειας ως άνω, όταν οι είναι τυχούσες συντρέχουσες σεβιανές του δοσμένου τριγώνου , αντί των διαμέσων.

Θα βάλω αργότερα την μετάφραση της απόδειξης της γενικευμένης συντρέχειας, στο συγγενικό πρόβλημα που έβαλε ο Στάθης Εδώ.