Καλοτάξιδο

KARKAR · #1

: Καλοτάξιδο.png (9.81 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

Στην αρκετά παλαιότερη ανάρτηση αυτή , ζητούσαμε την απόδειξη μια περίφημης πρότασης .

Ήρθε πλέον η ώρα να δούμε τι γίνεται αν $\hat{A}=3\hat{C}$ . Εδώ όμως πρέπει να βρείτε την σχέση ,

η οποία συνδέει τις τρεις πλευρές του τριγώνου , η οποία δεν δίνεται

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 17, 2021 2:40 pm
Καλοτάξιδο.pngΣτην αρκετά παλαιότερη ανάρτηση αυτή , ζητούσαμε την απόδειξη μια περίφημης πρότασης .

Ήρθε πλέον η ώρα να δούμε τι γίνεται αν $\hat{A}=3\hat{C}$ . Εδώ όμως πρέπει να βρείτε την σχέση ,

η οποία συνδέει τις τρεις πλευρές του τριγώνου , η οποία δεν δίνεται

Δεν ξέρω αν είναι αυτό που ζητάς, Θανάση.

: Καλοτάξιδο.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

Εφαρμόζω το νόμο συνημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα ABT, ATC

και έχω:

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle a - c = 2c\cos 2\theta \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\theta - 1 = \frac{{a - c}}{{2c}} \Leftrightarrow$ $\boxed{{\cos ^2}\theta = \frac{{a + c}}{{4c}}}$ (1)

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle b = 2(a - c)\cos \theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{a + c}}{{4c}} = \frac{{{b^2}}}{{4{{(a - c)}^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ {b^2}c = (a + c){(a - c)^2}}$

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση του ισοσκελούς όπου $\displaystyle a = b\Phi = c\Phi$ με γωνίες $\displaystyle \widehat A = 108^\circ ,\widehat B = \widehat C = 36^\circ$

καθώς επίσης και του ορθογωνίου τριγώνου όπου ο τύπος γράφεται $\displaystyle {b^2}c = ({a^2} - {c^2})(a - c)$ και δίνει

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 17, 2021 2:40 pm
Καλοτάξιδο.pngΣτην αρκετά παλαιότερη ανάρτηση αυτή , ζητούσαμε την απόδειξη μια περίφημης πρότασης .

Ήρθε πλέον η ώρα να δούμε τι γίνεται αν $\hat{A}=3\hat{C}$ . Εδώ όμως πρέπει να βρείτε την σχέση ,

η οποία συνδέει τις τρεις πλευρές του τριγώνου , η οποία δεν δίνεται

To

είναι ισοσκελές (έχει δύο γωνίες $2\theta$ ) άρα BT=AB=c

, οπότε και TC=a-c

. Το

είναι επίσης ισοσκελές με AT=TC=a-c

.

Από το πρώτο έχουμε $\displaystyle{\cos 2\theta = \cos (\hat BTA ) = \dfrac {AT/2}{BT}= \dfrac {a-c}{2c}}$ και από το δεύτερο

$\displaystyle{\cos \theta = \cos (\hat TCA ) = \dfrac {AC/2}{TC}= \dfrac {b}{2(a-c)}}$

Αλλά $\displaystyle{\cos 2\theta = 2 \cos ^2 \theta -1}$ , οπότε $\displaystyle{\dfrac {a-c}{2c}= \dfrac {2b^2}{4(a-c)^2}-1}$ . Ισοδύναμα $\displaystyle{\boxed{ (a-c)^2(a+c)=b^2c}}$

Ουπς. Με πρόλαβε ο Γιώργος με σχεδόν ακριβώς την ίδια λύση και πολύ νωρίτερα, αλλά για κάποιο λόγο δεν την είχα δει. Το αφήνω.

KARKAR · #4

: Καλοτάξιδο.png (9.81 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Ναι , αυτή είναι η ζητούμενη σχέση . Αναρωτιέται κανείς ποια μορφή της θα μπορούσε να μείνει στην μνήμη ,

αν θέλαμε να έχει την μορφή θεωρήματος . Ίσως αυτή που γράφω μέσα στο σχήμα " πιάνει " καλύτερα ...

#5

Και αυτή $\boxed{{b^2} = \frac{{({a^2} - {c^2})(a - c)}}{c}}$ θα μπορούσε να μείνει στη μνήμη.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 17, 2021 2:40 pm
Καλοτάξιδο.pngΣτην αρκετά παλαιότερη ανάρτηση αυτή , ζητούσαμε την απόδειξη μια περίφημης πρότασης .

Ήρθε πλέον η ώρα να δούμε τι γίνεται αν $\hat{A}=3\hat{C}$ . Εδώ όμως πρέπει να βρείτε την σχέση ,

η οποία συνδέει τις τρεις πλευρές του τριγώνου , η οποία δεν δίνεται

: καλοτάξιδο _1.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Είναι $x + y + z = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x + y = c$

Τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SBA$ είναι όμοια οπότε: $\dfrac{c}{x} = \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{{AS}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{{c^2}}}{a} \hfill \\ AS = \frac{{bc}}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\left( * \right)$

Στο τρίγωνο SAC

η μια γωνία ( $\widehat {SAC}$ ) είναι διπλάσια της άλλης ( $\widehat {{C_{}}}$ ) άρα :

${\left( {z + y} \right)^2} - A{S^2} = b \cdot AS \Rightarrow {\left( {a - x} \right)^2} - A{S^2} = b \cdot AS$ που λόγω των $\left( * \right)$ δίδει την σχέση που θέλω.

$\boxed{{a^3} - a{c^2} - {a^2}c + {c^3} = {b^2}c \Leftrightarrow {{\left( {a - c} \right)}^2}\left( {a + c} \right) = {b^2}c}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 17, 2021 2:40 pm
Καλοτάξιδο.pngΣτην αρκετά παλαιότερη ανάρτηση αυτή , ζητούσαμε την απόδειξη μια περίφημης πρότασης .

Ήρθε πλέον η ώρα να δούμε τι γίνεται αν $\hat{A}=3\hat{C}$ . Εδώ όμως πρέπει να βρείτε την σχέση ,

η οποία συνδέει τις τρεις πλευρές του τριγώνου , η οποία δεν δίνεται

Με

το

είναι χαρταετός κι από θ.διχοτόμου $x= \dfrac{bc}{a+c}$

$AT^2=xb \Rightarrow (a-c)^2= \dfrac{b^2c}{a+c} \Rightarrow b^2= \dfrac{(a-c)^2(a+c)}{c}$

: Καλοτάξιδο.png (19.37 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Καλοτάξιδο

Καλοτάξιδο

Re: Καλοτάξιδο

Re: Καλοτάξιδο

Re: Καλοτάξιδο

Re: Καλοτάξιδο

Re: Καλοτάξιδο

Re: Καλοτάξιδο

Μέλη σε σύνδεση