Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 47.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

Με κάθετη πλευρά AC=b

, κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , τέτοιο ώστε ,

το ύψος

, η διχοτόμος

και η διάμεσος

να συντρέχουν . Βρείτε τουλάχιστον την $\tan\hat{C}$ .

Manolis Petrakis · #2

Από το θεώρημα του Ceva

είναι $\dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1\Leftrightarrow \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1$
Από το θ. διχοτόμων η παραπάνω σχέση γράφεται:
$\dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{(ABD)}{(ACD)}=\dfrac{AB}{AC}\dfrac{\sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{CAD}}=\tan\widehat{C}\tan\widehat{BAD}=\tan^2 \widehat {C}$
$\Leftrightarrow \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AB^2}{AC^2} \Leftrightarrow AB \cdot BC=AC^2\ (1)$
Έστω x=AC

τότε $BC=\sqrt{x^2+b^2}$
Άρα η (1)

γράφεται ισοδύναμα $AB \cdot BC=AC^2\Leftrightarrow x\sqrt{x^2+b^2}=b^2$
$\Leftrightarrow x^4+x^2b^2-b^4=0$
$\Leftrightarrow x=b\sqrt{\dfrac{1}{\phi}}$ όπου η

είναι γνωστή άρα και το τρίγωνο κατασκευάσιμο
Τέλος $\tan \widehat{C}=\dfrac{b}{x}=\sqrt{\phi}$
* $\phi=\dfrac{\sqrt 5 +1}{2}$

#3

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 19, 2021 4:27 pm
Από το θεώρημα του είναι $\dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1\Leftrightarrow \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1$
Από το θ. διχοτόμων η παραπάνω σχέση γράφεται:
$\dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{(ABD)}{(ACD)}=\dfrac{AB}{AC}\dfrac{\sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{CAD}}=\tan\widehat{C}\tan\widehat{BAD}=\tan^2 \widehat {C}$
$\Leftrightarrow \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AB^2}{AC^2} \Leftrightarrow AB \cdot BC=AC^2\ (1)$
Έστω τότε $BC=\sqrt{x^2+b^2}$
Άρα η γράφεται ισοδύναμα $AB \cdot BC=AC^2\Leftrightarrow x\sqrt{x^2+b^2}=b^2$
$\Leftrightarrow x^4+x^2b^2-b^4=0$
$\Leftrightarrow x=b\sqrt{\dfrac{1}{\phi}}$ όπου η είναι γνωστή άρα και το τρίγωνο κατασκευάσιμο
Τέλος $\tan \widehat{C}=\dfrac{b}{x}=\sqrt{\phi}$
* $\phi=\dfrac{\sqrt 5 +1}{2}$

Αφήνω το σχήμα της κατασκευής

: 47_84_ok.png (21.4 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Ο Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο

του οποίου $\boxed{\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$ τέμνει στο

την εις το

κάθετο επί την

.

Ελάχιστα διαφορετικά :

$\dfrac{{AE}}{{EC}} \cdot \dfrac{{CD}}{{DB}} \cdot \dfrac{{BM}}{{MA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = ac$ . Αλλά ${a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {a^2} = ac + {c^2}$ .

Αν a = cx

προκύπτει : ${x^2} - x - 1 = 0$ κλπ.

#4

: Κατασκευή 47.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Κατασκευή: Με το σημείο

χωρίζω το τμήμα AC=b

σε μέσο και άκρο λόγο. Η κάθετη από το

στην

τέμνει

το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

και η

τέμνονται στην τρίτη κορυφή

του τριγώνου και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Υπολογισμός εφαπτομένης. Από $\displaystyle {\rm{Van}}$ $\displaystyle {\rm{Aubel}}$ έχω:

: Κατασκευή 47β.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{c}{{BD}} = 1 + \frac{c}{a} \Leftrightarrow \frac{c}{{{c^2}/a}} = 1 + \frac{c}{a} \Leftrightarrow {c^2} + ac - {a^2} = 0$

Άρα, $\displaystyle \sin C = \frac{c}{a} = \frac{1}{\Phi },$ απ' όπου $\boxed{\tan C = \frac{1}{{\sqrt \Phi }}}$ ( από τον τύπο $\displaystyle {\sin ^2}a = \frac{{{{\tan }^2}a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}$ ).

Φυσικά είναι γραμμένα κάπως ανακόλουθα. Έχει προηγηθεί ο υπολογισμός και στη συνέχεια γίνεται η κατασκευή.

Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

Re: Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

Re: Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

Re: Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

Μέλη σε σύνδεση