Τετράγωνα!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

: 206.PNG (26.11 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Έστω

τετράγωνο.Με κορυφή

κατασκευάζουμε εξωτερικά του, τετράγωνο CEZF

(όχι απαραίτητα ίσο με το αρχικό).Με κορυφές D,Z

κατασκευάζουμε το τετράγωνο DZKN

όπως στο σχήμα και τέλος το τετράγωνο NBLT

.
α) Δείξτε ότι τα T,D,F

είναι συνευθειακά.
β)Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{TD}{DF}$ .

#2

Αγνοώ προσωρινά το τελευταίο τετράγωνο.

: Τετράγωνα_a.png (34.31 KiB) Προβλήθηκε 874 φορές

Είναι ίσα τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων : $\left\{ \begin{gathered} \vartriangle BCE = \vartriangle DCF \hfill \\ \vartriangle DZF = \vartriangle KZE \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left( {\Pi - \Gamma - \Pi } \right)$ με άμεση συνέπεια :

$DF \bot = BE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KE \bot = DF \Rightarrow \boxed{KE = EB}$ . (1)

Επειδή στο σημείο τομής

των

έχω τις πιο πάνω καθετότητες το σημείο

αυτό

είναι τελικά το ριζικό κέντρων των τριών κύκλων των τετραγώνων και βλέπει τις τρεις πλευρές των τετραγώνων υπό $45^\circ$ και την τέταρτη υπό $135^\circ$ .

Πάμε τώρα στο όλο σχήμα

: Τετράγωνα_b.png (39.53 KiB) Προβλήθηκε 874 φορές

Τώρα είναι ίσα τα τρίγωνα $TND\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BNK$ και θα είναι $TD \bot = KB$ ( καθετότητα πάλι στο

) . Άρα

α) τα σημεία F,D,T

ανήκουν στη ίδια ευθεία

β) $\boxed{\frac{{TF}}{{DF}} = \frac{{KB}}{{DF}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{2EB}}{{EB}} = 2}$ .

min## · #3

Και με στροφή Διανύσματος(κλέβω από το Διονύση σε παρόμοια άσκηση):
Θεωρούμε την αριστερόστροφη στροφή κατα

μοίρες,έστω $\varphi$ .
Είναι $\varphi(\vec{KZ}+\vec{ZE})=\varphi(\vec{KZ})+\varphi(\vec{ZE})=\vec{KN}+\vec{FZ}=\vec{FD}$
και όμοια $\varphi(\vec{EC}+\vec{CB})=\vec{FD}$ ,δηλαδή K,E,B

συνευθειακά(και KE=EB

).
Τέλος (απλό ) $\varphi(\vec{FC}+\vec{CD})=\vec{BE}$ και όμοια $\varphi(\vec{DN}+\vec{NT})=\vec{BK}$ που δίνει τη συνευθειακότητα λόγω της συγγραμικότητας των $\vec{BE},\vec{BK}$

Τετράγωνα!

Τετράγωνα!

Re: Τετράγωνα!

Re: Τετράγωνα!

Μέλη σε σύνδεση