Μήκος τμήματος 19

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μήκος τμήματος 19

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 14, 2019 8:22 pm

Μήκος  τμήματος  19.png
Μήκος τμήματος 19.png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , το D είναι το ίχνος του ύψους προς την υποτείνουσα BC ,

το M το μέσο της πλευράς AB και η AE η διχοτόμος της γωνίας \widehat{BAD} . Ονομάζουμε S

την τομή των ευθειών AD και ME . Υπολογίστε το τμήμα DS , συναρτήσει των κάθετων

πλευρών b,c του τριγώνου . Εφαρμογή για τρίγωνο με κάθετες πλευρές για : b=5 , c=12



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3872
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μήκος τμήματος 19

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Μαρ 14, 2019 10:03 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 8:22 pm
Μήκος τμήματος 19.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , το D είναι το ίχνος του ύψους προς την υποτείνουσα BC ,

το M το μέσο της πλευράς AB και η AE η διχοτόμος της γωνίας \widehat{BAD} . Ονομάζουμε S

την τομή των ευθειών AD και ME . Υπολογίστε το τμήμα DS , συναρτήσει των κάθετων

πλευρών b,c του τριγώνου . Εφαρμογή για τρίγωνο με κάθετες πλευρές για : b=5 , c=12
MT\bot BC\left( M\in BC \right)\Rightarrow \dfrac{SD}{MT}=\dfrac{ES}{EM}=\dfrac{AS}{AM}=\dfrac{{{\upsilon }_{a}}+SD}{AM}\Rightarrow SD=\dfrac{MT\cdot {{\upsilon }_{a}}}{AM-MT}=\dfrac{\dfrac{\upsilon _{a}^{2}}{2}}{\dfrac{c}{2}-\dfrac{{{\upsilon }_{a}}}{2}}=\dfrac{\upsilon _{a}^{2}}{c-{{\upsilon }_{a}}}\Rightarrow \overset{{{\upsilon }_{a}}=\dfrac{bc}{a}}{\mathop{\Rightarrow }}\,SD=\dfrac{\dfrac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}}{c-\dfrac{bc}{a}}\Rightarrow SD=\dfrac{{{b}^{2}}c}{a\left( a-b \right)}\Rightarrow SD=\dfrac{{{b}^{2}}c}{\left( \sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}-b \right)\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1760
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μήκος τμήματος 19

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Μαρ 14, 2019 11:29 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 8:22 pm
Μήκος τμήματος 19.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , το D είναι το ίχνος του ύψους προς την υποτείνουσα BC ,

το M το μέσο της πλευράς AB και η AE η διχοτόμος της γωνίας \widehat{BAD} . Ονομάζουμε S

την τομή των ευθειών AD και ME . Υπολογίστε το τμήμα DS , συναρτήσει των κάθετων

πλευρών b,c του τριγώνου . Εφαρμογή για τρίγωνο με κάθετες πλευρές για : b=5 , c=12
Στο τρίγωνο ADB με τέμνουσα MES,\dfrac{EB}{ED}.\dfrac{DS}{DS+AD}.\dfrac{AM}{MB}=1\Leftrightarrow \dfrac{AD+DS} {DS}=\dfrac{EB}{ED}
και απο θεώρημα διχοτόμου και μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ACB,DS=\dfrac{cb^{2}}{a(a-b)}\Leftrightarrow DS=\dfrac{cb^{2}}{(\sqrt{c^{2}+b^{2}}-b)\sqrt{c^{2}+b^{2}}}



Γιάννης
Συνημμένα
Μήκος τμήματος 19.png
Μήκος τμήματος 19.png (40.02 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μήκος τμήματος 19

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 15, 2019 8:19 pm

Ας είναι N η προβολή του M στην BC.

Θέτω DS = x,AD = h\,\,,\,\,MN = y,\,AE = u,EN = k,NB = w. Προφανώς \boxed{w = u + k} (1)

Από το (Θ) διχοτόμου στο \vartriangle ABD έχω: \dfrac{{ED}}{{EB}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} που λόγω της (1), δίδει:

\dfrac{u}{{k + w}} = \frac{h}{c} \Rightarrow \dfrac{u}{{k + w - u}} = \dfrac{h}{{c - h}} \Rightarrow \dfrac{u}{{k + u + k - u}} = \dfrac{h}{{c - h}} και άρα : \boxed{\frac{u}{k} = \frac{{2h}}{{c - h}}} (2)
Μήκος τμήματος  19.png
Μήκος τμήματος 19.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 38 φορές
Επειδή το εμβαδόν του \vartriangle ABC είναι : \dfrac{1}{2}bc = \dfrac{1}{2}ah \Rightarrow \boxed{h = \frac{{bc}}{a}\,}\,(3)

και από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων DSE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NME

και λόγω της (2) έχω: \dfrac{{DS}}{{MN}} = \dfrac{{DE}}{{EN}} \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{u}{k} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{{h^2}}}{{c - h}}}

Εδώ επί της ουσίας τελειώσαμε αφού λόγω της (3) και του Π. Θ. προκύπτει :

\boxed{x = \frac{{{b^2}\left( {b\sqrt {{b^2} + {c^2}}  + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{c\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Mihalis_Lambrou και 2 επισκέπτες