Ομοκυκλικά και λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους !

: 28-10-18 Ομοκυκλικά και λόγος.PNG (8.03 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

Το

είναι παραλληλόγραμμο και

το μέσον της

. Θεωρούμε $H \in AB..I \in CD$ ώστε BH=DI

.

Οι

τέμνονται στο

. Αν είναι BM=AB+BH

τότε να εξεταστεί αν τα M,E,C,I

είναι ομοκυκλικά.

Αν επιπλέον δοθεί ότι AB=3BH

τότε να ελεγχθεί η ακεραιότητα του λόγου $\dfrac{\left ( MECI \right )}{\left ( MID \right )}$
Ευχαριστώ , Γιώργος .

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 1:47 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους !
28-10-18 Ομοκυκλικά και λόγος.PNG
Το είναι παραλληλόγραμμο και το μέσον της . Θεωρούμε $H \in AB..I \in CD$ ώστε .

Οι τέμνονται στο . Αν είναι τότε να εξεταστεί αν τα είναι ομοκυκλικά.

Αν επιπλέον δοθεί ότι τότε να ελεγχθεί η ακεραιότητα του λόγου $\dfrac{\left ( MECI \right )}{\left ( MID \right )}$
Ευχαριστώ , Γιώργος .

Καλησπέρα!

Η

τέμνει την

στο

: Ομοκυκλικά και λόγος.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

α) Μενέλαος στο ADH

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {BEM}:$ $\displaystyle \frac{{AM}}{{MD}} \cdot \frac{{ED}}{{EH}} \cdot \frac{{BH}}{{BA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ED}}{{EH}} = \frac{{BA}}{{BH}} = \frac{{DC}}{{BH}}$

Αλλά, $\displaystyle \frac{{ED}}{{EH}} = \frac{{DC}}{{FH}},$ άρα $\boxed{FH=HB}$ και $\displaystyle \frac{{FB}}{{BC}} = \frac{{2BH}}{{2MD}} = \frac{{DI}}{{MD}} \Rightarrow$ $\boxed{FC||MI}$

Μενέλαος στο ABM

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {HED}:$ $\displaystyle \frac{{AH}}{{HB}} \cdot \frac{{EB}}{{EM}} \cdot \frac{{MD}}{{AD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{HB}} \cdot \frac{{EB}}{{EM}} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EB}}{{EM}} = \frac{{2HB}}{{AH}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{EB + EM}}{{EM}} = \frac{{2HB + AB}}{{AH}} \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{EM}} = \frac{{BM}}{{AH}} \Leftrightarrow$ $\boxed{EM=AH=CI}$

Επομένως το EMIC

είναι ισοσκελές τραπέζιο και κατά συνέπεια τα σημεία M,E,C,I

είναι ομοκυκλικά!

β) Φέρνω $\displaystyle DK \bot EC$ που τέμνει την

στο

Είναι, $\displaystyle \frac{{ED}}{{EH}} = \frac{{AB}}{{BH}} = 3 = \frac{{EC}}{{EF}} \Leftrightarrow EC = 3EF$

Αλλά, από τα όμοια τρίγωνα MDI, BCF

είναι $\displaystyle CF = 2MI \Leftrightarrow$ $\boxed{EC=\frac{3MI}{2}}$ Επίσης, $\boxed{KZ=2DZ}$

$\displaystyle \frac{{(MECI)}}{{(MID)}} = \frac{{(MI + EC)KZ}}{{MI \cdot DZ}} = \frac{{\frac{{5MI}}{2}}}{{MI}} \cdot 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{\dfrac{\left ( MECI \right )}{\left ( MID \right )}=5}$ που είναι ακέραιος!

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ. Ένα μεγάλο ευχαριστώ , Γιώργο για την άμεση τακτοποίηση του παρόντος!
Η δική μου προσέγγιση :

: 1-11 Ομοκυκλικά...PNG (8.36 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Όπως και στο θέμα Νέα παραλληλία (5η ανάρτηση) προκύπτει $MI \parallel CE$ . Η συνέχεια για το α΄ όπως ο Γιώργος.

Για το β' ο Μενέλαος πριν μας δίνει ME=EB

οπότε $\left ( MEC \right )=\left ( BMC \right )/2=\left ( ABCD \right )/4$

και $\left ( MIC \right )=2\left ( MCD \right )/3=\left ( ABCD \right )/6$ άρα $\left ( MECI \right )=5\left ( ABCD \right )/12$

ενώ $\left ( MID \right )=\left ( MDC \right )/3=\left ( ABCD \right )/12$ και το ζητούμενο άμεσο.

Να τονίσω ότι ο ακέραιος που βρήκαμε , σήμερα σημαίνει κάτι ... για τον άφθαστο ΓΙΩΡΓΟ ΒΙΣΒΙΚΗ !!

Φιλικά Γιώργος.

Ομοκυκλικά και λόγος

Ομοκυκλικά και λόγος

Re: Ομοκυκλικά και λόγος

Re: Ομοκυκλικά και λόγος

Μέλη σε σύνδεση