Ακτίνες και λόγος

#1

: Ακτίνες και λόγος.png (16.1 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Το

είναι ορθογώνιο με AB=a, BC=b, a>b

και

Ο κύκλος

είναι εγγεγραμμένος

στο ABFD,

ο

είναι έγκυκλος του BEF,

ενώ οι κύκλοι (O), (I)

εφάπτονται εξωτερικά μεταξύ τους. Να βρείτε

τις ακτίνες των δύο κύκλων και το λόγο $\dfrac{a}{b}.$

#2

: Ακτίνες και λόγος.png (26.62 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Αν γράψουμε το κύκλο (O,R)

και τον θεωρήσουμε σταθερό , τότε:

Ο κύκλος (I,R + r)

εφάπτεται σταθερής ευθείας

διέρχεται από το

και έχει το

κέντρο του σε σταθερή ευθεία ( εφαπτομένη του (O,R)

παράλληλη στην

) άρα

κατασκευάζεται.

Μετά ( ο αυτόματος πιλότος ) : $\boxed{R = 4r\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\frac{a}{b} = \frac{7}{6}}$ .

Ανάλυση :

Προφανώς η

διχοτομεί τη γωνία

του ορθογωνίου ABCD

. Αν λοιπόν κόψει τη

στο

και φέρω $KL \bot DC$ , το τετράπλευρο AKLD

είναι τετράγωνο .

Έστω ο κύκλος (I,r)

εφάπτεται στις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EF$ στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ και το IKEZ

είναι κι αυτό τετράγωνο , αναγκαστικά λοιπόν το

ανήκει στην

και τα σημεία

D,O,Z,K

είναι συνευθειακά . Ο κύκλος (I,R + r)

εφάπτεται σε σταθερή ευθεία

παράλληλη στην

σημείο της

, διέρχεται από το

και έχει το κέντρο του

Στην ευθεία

άρα κατασκευάζεται ,

: Ακτίνες και λόγος_ανάλυση.png (34.89 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Υπολογισμοί:

Από το Θεώρημα συνημίτονου στο $\vartriangle KOI$ έχω :

$O{I^2} = O{K^2} + I{K^2} - 2OK \cdot KI \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {(R + r)^2} = {(R\sqrt 2 )^2} + {r^2} - 2Rr$ και άρα

$\boxed{R = 4r}$ .

Από την ομοιότητα των τριγώνων $OZI\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OKB$ έχω :

$\displaystyle \dfrac{{ZI}}{{KB}} = \dfrac{{OZ}}{{OK}} \Rightarrow \dfrac{r}{{KB}} = \dfrac{{R\sqrt 2 - r\sqrt 2 }}{{R\sqrt 2 }} \Rightarrow \boxed{KB = \frac{4}{3}r}$ . Έτσι :

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AK + KB}}{{AD}} = \dfrac{{2R + \dfrac{4}{3}r}}{{2R}} = \dfrac{{8r + \dfrac{4}{3}r}}{{8r}} \Rightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \frac{7}{6}}$

KARKAR · #3

Νίκο , επειδή φαίνεται ότι αυτός ο "αυτόματος πιλότος" βγάζει πολλή δουλειά

θα ήθελες να μας τον παρουσιάσεις ; ( να μας τον γνωρίσεις ; )

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 27, 2018 7:50 pm
Νίκο , επειδή φαίνεται ότι αυτός ο "αυτόματος πιλότος" βγάζει πολλή δουλειά

θα ήθελες να μας τον παρουσιάσεις ; ( να μας τον γνωρίσεις ; )

Δες πιο πάνω

Τα μαθηματικά δεν έιναι η εκτέλεση. έστω και μεγάλης δυσκολίας, αλγεβρικών πράξεων αφού σήμερα γίνονται με τη βοήθεια λογισμικών ακαριαία .

Η όποια επινόηση για τη λύση μιας άσκησης είναι η μαθηματική σκέψη που αξίζει.

"Ο αυτόματος πιλότος " είναι η εκτέλεση αλγεβρικών πράξεων μέσω λογισμικού.

Ακτίνες και λόγος

Ακτίνες και λόγος

Re: Ακτίνες και λόγος

Re: Ακτίνες και λόγος

Re: Ακτίνες και λόγος

Μέλη σε σύνδεση