Τιμή από συναρτησιακές σχέσεις

Al.Koutsouridis · #1

Η συνάρτηση f(x)

είναι ορισμένη στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς και λαμβάνει τιμές στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς. Να βρείτε την τιμή f(2024)

, αν είναι γνωστό ότι για κάθε μη μηδενικό φυσικό αριθμό

ικανοποιούνται f(n+1) > f(n)

και

.

Για Γ' λυκείου

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2024 4:43 pm
Η συνάρτηση είναι ορισμένη στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς και λαμβάνει τιμές στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς. Να βρείτε την τιμή , αν είναι γνωστό ότι για κάθε μη μηδενικό φυσικό αριθμό ικανοποιούνται και .

Από την υπόθεση η

είναι γνήσια αύξουσα.

Δεν μπορεί να είναι f(1)=1

, γιατί τότε $1=f(1)=f(f(1))= 3\cdot 1 = 3$ , άτοπο.

Άρα $f(1)=a\in \mathbb N ^*$ με a>1

. Άρα

, οπότε

και άρα

.

Mε άλλα λόγια f(1)=2

, Έπεται

, οπότε $f(3)=f(f(2))=2\cdot 3=6$ και άρα $f(6)=f(f(3))=3\cdot 3 =9$ .

Εύκολα βλέπουμε επαγωγικά, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με αυτόν που μόλις είδαμε, ότι $\boxed {f(3^n)=2\cdot 3^n}$ και $\boxed { f(2\cdot 3^n) = 3^{n+1}}$

Μένει να βρούμε την τιμή της

α) στους αριθμούς γνήσια μεταξύ των 3^n

και $2\cdot 3^{n}$ όπως επίσης β) στους αριθμούς γνήσια μεταξύ των $2\cdot 3^{n}$ και $3^{n+1}$ .

Για το α) παρατηρούμε ότι γνήσια μεταξύ των 3^n

και $2\cdot 3^n}$ υπάρχουν ακριβώς $2\cdot 3^{n}- 3^n-1=3^n -1$ αριθμοί. Τυχαίνει αυτοί να είναι ακριβώς όσοι οι αριθμοί γνήσια μεταξύ των $f(3^n)= 2\cdot 3^n$ και $f(2\cdot 3^n)= 3^{n+1}$ . Πράγματι το πλήθος τους είναι $3^{n+1}- 2\cdot 3^n-1 = 3^n -1$ . Από το γεγονός ότι η

γνήσια αύξουσα (και 1-1

) έπεται

α) $\boxed {f(3^n+m) = f(3^n)+m= 2\cdot 3^n+m}$ για 0<m<3^n-1

.

Τέλος, β) για τους αριθμούς αυτής της περίπτωαης, από την προηγούμενη έχουμε $\boxed {f( 2\cdot 3^n+m)= f(f(3^n+m)) = 3^{n+1}+3m}$ για 0<m<3^n-1

Για το ζητούμενο, $f(2024)=f(2\cdot 3^6+566)=3^7+3\cdot 566=3885$

Τιμή από συναρτησιακές σχέσεις

Τιμή από συναρτησιακές σχέσεις

Re: Τιμή από συναρτησιακές σχέσεις

Μέλη σε σύνδεση