Τριγωνομετρική με παράμετρο
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 14, 2023 2:27 pm
Για ποιά ελάχιστη κατά απόλυτη τιμή της παραμέτρου 
η εξίσωση
έχει λύση στο διάστημα![\left [ -\pi, \pi \right ]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f88c41f4760d50c3ae89fc7aff143469.png "\left [ -\pi, \pi \right ]")
;
(Για Γ' Λυκείου)
η εξίσωσηέχει λύση στο διάστημα
;(Για Γ' Λυκείου)
Παρατηρώ ότι:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 14, 2023 2:27 pmΓια ποιά ελάχιστη κατά απόλυτη τιμή της παραμέτρου
έχει λύση στο διάστημα
(Για Γ' Λυκείου)
![\displaystyle{
\begin{aligned}
\left.
\begin{aligned}
1234\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) \le 1234 \\[0.1in]
- 789\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) \le 789 \\[0.02in]
\end{aligned}
\right\}
&\overset{(+) \,}{=\joinrel=\joinrel\Rightarrow}
1234\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) - 789\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) \le 2023
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/236c2ffc514ad294452f87a1197b23ad.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
\left.
\begin{aligned}
1234\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) \le 1234 \\[0.1in]
- 789\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) \le 789 \\[0.02in]
\end{aligned}
\right\}
&\overset{(+) \,}{=\joinrel=\joinrel\Rightarrow}
1234\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) - 789\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) \le 2023
\end{aligned}
}")
Συνεπώς το "
" ισχύει παντού και έτσι πρέπει:![\displaystyle{
\left\{
\begin{aligned}
&\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) = 1 \\[0.1in]
&\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) = -1 \\[0.01in]
&-\pi \le x \le \pi \\[0.04in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
&\sin \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) = \pm 1 \\[0.1in]
&\cos \biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) = -1 \\[0.01in]
&-\pi \le x \le \pi \\[0.04in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
&x = \dfrac{5\pi}{6} \text{ \textgreek{ή} } x = -\dfrac{\pi}{6} \\[0.1in]
&x = \dfrac{\pi(8k + 5)}{4a}, \quad k \in \mathbb{Z} \\[0.01in]
&-\pi \le x \le \pi \\[0.04in]
\end{aligned}
\right.
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/443c9d3661afa565deb9b2b04bb8843f.png "\displaystyle{
\left\{
\begin{aligned}
&\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) = 1 \\[0.1in]
&\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) = -1 \\[0.01in]
&-\pi \le x \le \pi \\[0.04in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
&\sin \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) = \pm 1 \\[0.1in]
&\cos \biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) = -1 \\[0.01in]
&-\pi \le x \le \pi \\[0.04in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
&x = \dfrac{5\pi}{6} \text{ \textgreek{ή} } x = -\dfrac{\pi}{6} \\[0.1in]
&x = \dfrac{\pi(8k + 5)}{4a}, \quad k \in \mathbb{Z} \\[0.01in]
&-\pi \le x \le \pi \\[0.04in]
\end{aligned}
\right.
}")
Αντικαθιστώντας τις τιμές του
που βρήκα, προσδιορίζω το συναρτήσει του 
:![\displaystyle{
\begin{aligned}
x = \dfrac{\pi(8k + 5)}{4a}
&\overset{x \; = \; \frac{5\pi}{6} \;}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow}
a = \dfrac{3(8k + 5)}{10} \\[0.15in]
&\overset{x \; = \; -\frac{\pi}{6} \;}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow}
a = -\dfrac{3(8k + 5)}{2}
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/98747956d0b8aba833bbbce8e2aed843.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
x = \dfrac{\pi(8k + 5)}{4a}
&\overset{x \; = \; \frac{5\pi}{6} \;}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow}
a = \dfrac{3(8k + 5)}{10} \\[0.15in]
&\overset{x \; = \; -\frac{\pi}{6} \;}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow}
a = -\dfrac{3(8k + 5)}{2}
\end{aligned}
}")
Με δοκιμές, βρίσκω πως η ελάχιστη κατ' απόλυτη τιμή του
είναι 
όταν 
.