Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Αν θετικοί με , να αποδειχθεί ότι
(Ας σχολιάσω ότι έχει πολλά άμεσα πορίσματα, π.χ. με την ίδια υπόθεση ισχύει
και
και
και άλλες πολλές ακόμη παραλλαγές).
(Ας σχολιάσω ότι έχει πολλά άμεσα πορίσματα, π.χ. με την ίδια υπόθεση ισχύει
και
και
και άλλες πολλές ακόμη παραλλαγές).
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Υποθέτω ότι
Επιπλέον είναι
Άρα
Για να καταλήξω σε άτοπο, θα πρέπει να αποδείξω την παρακάτω ανισότητα για θετικούς πραγματικούς a,b,c :
Αυτή προκύπτει απλά μετά από πράξεις
Επιπλέον είναι
Άρα
Για να καταλήξω σε άτοπο, θα πρέπει να αποδείξω την παρακάτω ανισότητα για θετικούς πραγματικούς a,b,c :
Αυτή προκύπτει απλά μετά από πράξεις
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Νομίζω ότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η άσκηση δεν είναι ακόμη λυμένη.Henri van Aubel έγραψε: ↑Παρ Φεβ 03, 2023 8:06 pm
Για να καταλήξω σε άτοπο, θα πρέπει να αποδείξω την παρακάτω ανισότητα για θετικούς πραγματικούς a,b,c :
Αυτή προκύπτει απλά μετά από πράξεις
Είναι λοιπόν ανοικτή σε όλους, για λύσεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
- elenipappa
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 01, 2021 8:42 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Φεβ 03, 2023 6:49 pmΑν θετικοί με , να αποδειχθεί ότι
(Ας σχολιάσω ότι έχει πολλά άμεσα πορίσματα, π.χ. με την ίδια υπόθεση ισχύει
και
και
και άλλες πολλές ακόμη παραλλαγές).
Με την ανισότητα Andreescu
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
Όμως σύμφωνα με την ανισότητα Cauchy - Schwarz ισχύει ότι:
Έτσι πρέπει να αποδείξουμε ότι: που ισχύει για τους θετικούς
Wer wagt, gewinnt
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Όχι δεν αρκεί. Αν αποδείξεις ότι ο πιο μικρός από δύο αριθμούς είναι μικρότερος ή ίσος από το , δεν σημαίνει ότι και ο πιο μεγάλος από τους δύο είναι μικρότερος ή ίσος τουelenipappa έγραψε: ↑Παρ Φεβ 03, 2023 9:09 pm
Με την ανισότητα Andreescu
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
Ναι μεν σωστή η απόδειξη αυτού του σκέλους, αλλά κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε αμέσωςelenipappa έγραψε: ↑Παρ Φεβ 03, 2023 9:09 pmΌμως σύμφωνα με την ανισότητα Cauchy - Schwarz ισχύει ότι:
Έτσι πρέπει να αποδείξουμε ότι: που ισχύει για τους θετικούς
. Tελειώσαμε!
Πάντως, τα συγχαρητήριά μου που ασχολήθηκες.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Φεβ 04, 2023 8:34 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Τώρα μάλιστα.Henri van Aubel έγραψε: ↑Παρ Φεβ 03, 2023 8:43 pmΗ τελευταία γράφεται ως:
Όμως αυτό ισχύει από ΑΜ-ΓΜ, ...κλπ
Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι στην αρχική μέθοδο περιτεύει να διώξουμε το ώστε να αντικατασταθεί το με το . Μπορούμε να το αφήσουμε όπως είναι και να κάνουμε τις πράξεις με αυτό. Πάλι είναι πολλές οι πράξεις, αλλά είναι λιγότερες. Γι' αυτό επέμεινα σε προηγούμεν'ό μου ποστ, να δούμε τημ εργασία.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Πιο σύντομα:
Η ζητούμενη γράφεται ως
Από Cauchy Schwarz είναι
οπότε αρκεί να ισχύει το οποίο είναι άμεσο από την ΑΜ-ΓΜ και τη συνθήκη.
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Και για να κλείνει, ας δούμε τι εννοούσα ότι οι τρεις τελευταίες είναι άμεσο πόρισμα της αρχικής.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Φεβ 03, 2023 6:49 pmΑν θετικοί με , να αποδειχθεί ότι
(Ας σχολιάσω ότι έχει πολλά άμεσα πορίσματα, π.χ. με την ίδια υπόθεση ισχύει
και
και
και άλλες πολλές ακόμη παραλλαγές).
Η υπόθεση γράφεται ισοδύναμα ή αλλιώς . Αν θέσουμε , έχουμε από την πρώτη ότι
που είναι ακριβώς η δεύτερη. Η τρίτη και η τέταρτη είναι μικρές παραλλαγές μέσω των
και , αντίστοιχα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες