Μια κατηγορία φυσικών αριθμών

#1

Οι περισσότεροι φυσικοί αριθμοί, μπορούν να γραφτούν είτε ως άθροισμα τετραγώνων είτε ως διαφορά τετραγώνων είτε και
ως άθροισμα και ως διαφορά τετραγώνων δύο φυσικών αριθμών.
Υπάρχουν όμως και φυσικοί αριθμοί οι οποίοι δεν μπορούν να γραφτούν ούτε ως άθροισμα ούτε και ως διαφορά τετραγώνων δύο
φυσικών αριθμών.
Να βρείτε ποια μορφή έχουν οι αριθμοί αυτοί.

#2

Θεωρώ ότι οι φυσικοί δεν περιλαμβάνουν το

. Αλλιώς η απάντηση αλλάζει λίγο.

Αν n = 2m+1

με $m \geqslant 1$ , τότε γράφεται ως (m+1)^2 - m^2

.

Αν

με $m \geqslant 2$ , τότε γράφεται ως (m+1)^2 - (m-1)^2

.

Μένουν οι αριθμοί 1,4

καθώς και όλοι της μορφής $2 \bmod 4$ . Οι 1,4

δεν μπορούν να γραφτούν εκτός και αν χρησιμοποιήσουμε το

. Αυτοί της μορφής $2 \bmod 4$ δεν μπορούν να γραφτούν ως διαφορά τετραγώνων αφού κάθε τέλειο τετράγωνο είναι ισότιμο με $0,1 \bmod 4$ . Κάποιοι όμως εξ αυτών γράφονται ως άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων (όπως οι $2,10,18,26,34,\ldots$ ) και κάποιοι άλλοι όχι (όπως οι $6,14,22,30,38,42,\ldots$ ). Επίτηδες πήγα μέχρι το

για να φανεί ότι το προφανές ίσως μοτίβο είναι λανθασμένο.

Είναι πιο δύσκολο να δείξουμε ποιοι από αυτούς γράφονται και ποιοι όχι. Η απάντηση δίνεται από το Θεώρημα αθροίσματος δύο τετραγώνων το οποίο στην περίπτωσή μας λέει:

Ένας αριθμός

με

περιττό γράφεται ως άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων αν η μεγαλύτερη δύναμη κάθε διαιρέτη του

της μορφής $3 \bmod 4$ είναι άρτια.

Συνοψίζοντας: Ένας αριθμός δεν γράφεται ούτε ως άθροισμα ούτε ως διαφορά δύο τέλειων τετραγώνων αν και μόνο είναι ίσος με 1,4

ή της μορφής

με

περιττό όπου ο

έχει κάποιο πρώτο διαιρέτη

με $q \equiv 3 \bmod 4$ και επιπλέον η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί τον

είναι περιττή.

Μια κατηγορία φυσικών αριθμών

Μια κατηγορία φυσικών αριθμών

Re: Μια κατηγορία φυσικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση