Σύστημα με πολλές προεκτάσεις

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4544
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Σύστημα με πολλές προεκτάσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Ιαν 23, 2023 8:38 pm

Αν ο \displaystyle{k} είναι θετικός ακέραιος διάφορος του \displaystyle{7}, και το σύστημα:

\displaystyle{2x^2 -2xy^2 +k+4y=1}

\displaystyle{y^4 -2kx +ky^2 -8y =0}

έχει μόνο ακέραιες λύσεις, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x=y}

(Παρατήρηση: Από το \displaystyle{k} εξαιρέθηκε η τιμή \displaystyle{7} για να αποφευχθούν κάποιες πράξεις).



Λέξεις Κλειδιά:
abgd
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Σύστημα με πολλές προεκτάσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τετ Ιαν 25, 2023 2:29 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Δευ Ιαν 23, 2023 8:38 pm
Αν ο \displaystyle{k} είναι θετικός ακέραιος διάφορος του \displaystyle{7}, και το σύστημα:

\displaystyle{2x^2 -2xy^2 +k+4y=1}

\displaystyle{y^4 -2kx +ky^2 -8y =0}

έχει μόνο ακέραιες λύσεις, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x=y}

(Παρατήρηση: Από το \displaystyle{k} εξαιρέθηκε η τιμή \displaystyle{7} για να αποφευχθούν κάποιες πράξεις).
\displaystyle{2x^2 -2xy^2 +k+4y=1 \ \ \bf(1)}

\displaystyle{y^4 -2kx +ky^2 -8y =0  \ \  \bf(2)}

Πολλαπλασιάζοντας την \displaystyle{\bf(1)} με το \displaystyle{2} και προσθαφαιρώντας το \displaystyle{y^4} έχουμε:

\displaystyle{\left(y^2-2x\right)^2-y^4+8y=2(1-k) \ \ \bf(3)}

Προσθέτοντας κατά μέλη τις \displaystyle{\bf(2),  \ \ \bf(3)} έχουμε:

\displaystyle{\left(y^2-2x\right)^2+k\left(y^2-2x\right)=2(1-k) \ \  \bf(4)}

Αυτή είναι εξίσωση 2ου βαθμού, ως προς \displaystyle{y^2-2x} και η Διακρίνουσά της θα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, εφόσον έχουμε ακέραιες τιμές για τα \displaystyle{x,y}

Είναι \displaystyle{\Delta=(k-4)^2-8} και πρέπει \displaystyle{(k-4)^2-8=m^2, \ \ m\in \mathbb{N} \Rightarrow (k-m-4)(k+m-4)=8}

Θα είναι:

\displaystyle{k-m-4=-8\wedge k+m-4=-1} ή

\displaystyle{k-m-4=-4\wedge k+m-4=-2} ή

\displaystyle{k-m-4=1\wedge k+m-4=8} ή

\displaystyle{k-m-4=2\wedge k+m-4=4}

Από τις ισότητες αυτές και με δεδομένο ότι \displaystyle{k\ne7} προκύπτει εύκολα ότι: \displaystyle{\bf k=1}

Για \displaystyle{\bf k=1} από την \displaystyle{\bf(4)} έχουμε \displaystyle{y^2-2x=0 } ή \displaystyle{y^2-2x=-1 } και με τη βοήθεια της \displaystyle{\bf(3) } παίρνουμε

\displaystyle{(x,y)=(0,0) } ή \displaystyle{(x,y)=(2,2) }


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης