Κατά παράγοντες

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15082
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κατά παράγοντες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 27, 2022 8:46 pm

Λύστε - στο \mathbb{R} - την εξίσωση : (x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=80



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15792
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κατά παράγοντες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 27, 2022 9:28 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 27, 2022 8:46 pm
Λύστε - στο \mathbb{R} - την εξίσωση : (x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=80
Γράφεται [(x-3)(x-6)][(x-4)(x-5)]=80 ισοδύναμα (x^2-9x+18)(x^2-9x+20)=80 ή y(y+2)=80. Άρα y=8 ή -10. Κατόπιν λύνουμε τις

x^2-9x+18 =8 και x^2-9x+18=-10. Πραγματικές ρίζες οι \dfrac {1}{2} (9\pm \sqrt {41}), από την πρώτη.

Μάλλον χιλιοειπωμένη άσκηση εντός και εκτός φόρουμ.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Μαρ 27, 2022 9:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 931
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Κατά παράγοντες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 27, 2022 9:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μαρ 27, 2022 9:28 pm
KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 27, 2022 8:46 pm
Λύστε - στο \mathbb{R} - την εξίσωση : (x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=80
Μάλλον χιλιοειπωμένη άσκηση εντός και εκτός φόρουμ.
Υπάρχει και σχετικός μετασχηματισμός.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1298
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Κατά παράγοντες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Μαρ 27, 2022 9:37 pm

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

\left ( x-3 \right )\left ( x-6 \right )\left ( x-4 \right )\left ( x-5 \right )=80\Leftrightarrow

\left ( x^{2}-9x++18 \right )\left ( x^{2} -9x+20\right )=80\Leftrightarrow

\left ( x^{2}-9x++18 \right ) \left [ \left (  x^{2}-9x++18 
\right )+2 \right ]=80\Leftrightarrow

\left ( x^{2}-9x++18 \right )^{2} +2\left ( x^{2}-9x++18 \right )=80 \Leftrightarrow

\left ( x^{2}-9x++18 \right )^{2} +2\left ( x^{2}-9x++18 \right )+1=81 \Leftrightarrow

\left [ \left ( x^{2} -9x+18\right )+1 \right ]^{2}=81\Leftrightarrow

\left ( x^{2}-9x+19 \right )^{2}=81

Ισοδύναμα προκύπτουν οι εξισώσεις

x^{2}-9x+19 =9,  x^{2}-9x+19 =-9

Η πρώτη γράφεται ως x^{2}-9x+10=0 και έχει ως λύσεις τους αριθμούς \displaystyle\frac{9+\sqrt{41}}{2},\frac{9-\sqrt{41}}{2}

Η δεύτερη γράφεται ως  x^{2}-9x+28=0 , είναι αδύνατη στο \mathbb{R} αλλά στο \mathbb{C} έχει ως λύσεις τους

αριθμούς \displaystyle\frac{9+\sqrt{31}i}{2}, \frac{9-\sqrt{31}i}{2}

Mέχρι να γράψω τη λύση με πρόλαβε ο Μιχάλης...
Το αφήνω για τον κόπο...
τελευταία επεξεργασία από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ σε Κυρ Μαρ 27, 2022 9:42 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9933
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατά παράγοντες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 27, 2022 9:37 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 27, 2022 8:46 pm
Λύστε - στο \mathbb{R} - την εξίσωση : (x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=80
\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 6} \right) = 80 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 6} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right) = 80

 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 9x + 18} \right)\left( {{x^2} - 9x + 20} \right) = 80\,\,\left( 1 \right).

Θέτω : {x^2} - 9x + 18 = y\,\, \Rightarrow {x^2} - 9x + 20 = y + 2 και άρα η \left( 1 \right) γίνεται

y\left( {y + 2} \right) - 80 = 0 \Rightarrow y =  - 10\, είτε y = 8. Τώρα έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} - 9x + 18 = 8 \hfill \\ 
  {x^2} - 9x + 18 =  - 10 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{9 + \sqrt {41} }}{2} \hfill \\ 
  x = \frac{{9 - \sqrt {41} }}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες