Συναρτησιακή εξίσωση 2
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή εξίσωση 2
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή εξίσωση 2
Αποδεικνύουμε πρώτα τον εξής Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός: Η είναι γνησίως αύξουσα.
Απόδειξη: Έστω με . Τότε, η δοσμένη με και δίνει
άρα , δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα
Στο πρόβλημα, αφού από τον Ισχυρισμό η είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1-1. Η αρχική με δίνει
οπότε εναλλάσσοντας τα προκύπτει ότι
συνεπώς
και αφού η είναι 1-1, προκύπτει ότι
.
Αυτή με και τυχόν δίνει ότι . Αντικαθιστώντας τώρα στην αρχική προκύπτει ότι , συνεπώς , για κάθε .
Εύκολα ελέγχουμε ότι η ταυτοτική επαληθεύει, άρα η είναι η μοναδική λύση.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες