Τιμή πολυωνύμου

#1

Οι συντελεστές a,b,c,d,e,f

του πολυωνύμου p(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f

είναι ίσοι με

ή

. Αν

, να βρεθούν οι δυνατές τιμές του p(3)

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 10:47 pm
Οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ίσοι με ή . Αν , να βρεθούν οι δυνατές τιμές του .

Θα δούμε ότι η μοναδική περίπτωση είναι η $a=d=f=1,\, b=c=e=-1$ , οπότε p(3)= 3^5-3^4-3^3+3^2-3+1=142

.

H

γράφεται

$2^5(a-1)+2^4(b+1)+2^3(c+1)+2^2(d-1)+2(e+1)+(f-1)=0 \,(*)$ . Oι συντελεστές στο τελευταίο είναι

ή $\pm 2$ (αλλά στο τέλος θα δούμε ότι είναι όλοι

).

Πράγματι η (*)

δίνει

$|2^5(a-1)| = |2^4(b+1)+2^3(c+1)+2^2(d-1)+2(e+1)+(f-1)| \le$

$\le |2^4(b+1)|+|2^3(c+1)|+|2^2(d-1)|+|2(e+1)|+|f-1|\le 32+16+8+4+2= 62$ .

Συμπεραίνουμε ότι δεν μπορεί a=-1

γιατί η προηγούμενη θα έδινε $64\le 62$ . Άρα $\boxed {a=1}$

Η (*)

τώρα γράφεται $2^4(b+1)+2^3(c+1)+2^2(d-1)+2(e+1)+(f-1)=0 \,(**)$ .

Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο αρχίζοντας από την

$|2^4(b+1)|= |2^3(c+1)+2^2(d-1)+2(e+1)+(f-1)| \le$

$\le |2^3(c+1)|+|2^2(d-1)|+|2(e+1)|+|f-1|\le 16+8+4+2= 30$

έπεται ότι $\boxed {b=-1}$ γιατί αλλιώς θα είχαμε $32\le 30$ .

Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις όπου σταδιακά βρίσκουμε τα $c,\,d,\,e,\,f$ .

Σχολιάζω ότι ήμουν λίγο αναλυτικός γιατί η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές. Θα μπορούσα με πολύ λιγότερα λόγια απλά χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ότι το δυαδικό ανάπτυγμα αριθμών είναι μοναδικό. Εδώ θα γινόταν εφαρμογή του στην ισότητα

2^4(b+1)+2^3(c+1)+2(e+1)=2^5(1-a)+2^2(1-d)+(1-f)

όπου οι συντελεστές τώρα είναι

ή

και άρα (τελικά) όλοι

.

Τιμή πολυωνύμου

Τιμή πολυωνύμου

Re: Τιμή πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση