Να βρεθούν 4 αριθμοί

#1

Θεωρούμε τους διαφορετικούς ανά δύο αριθμούς: $\displaystyle{x , 3x+1 , 2x-3 , x^2 -2}$ , όπου $\displaystyle{x}$ είναι θετικός ακέραιος.
Ονομάζουμε $\displaystyle{m}$ τον μικρότερο από τους πιο πάνω αριθμούς.
Αν το άθροισμα των τεσσάρων αυτών αριθμών είναι ίσο με $\displaystyle{k.m}$ , όπου $\displaystyle{k\in N}$ , να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 16, 2022 3:04 pm
Θεωρούμε τους διαφορετικούς ανά δύο αριθμούς: $\displaystyle{x , 3x+1 , 2x-3 , x^2 -2}$ , όπου $\displaystyle{x}$ είναι θετικός ακέραιος.
Ονομάζουμε $\displaystyle{m}$ τον μικρότερο από τους πιο πάνω αριθμούς.
Αν το άθροισμα των τεσσάρων αυτών αριθμών είναι ίσο με $\displaystyle{k.m}$ , όπου $\displaystyle{k\in N}$ , να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί.

Με απλό απευθείας έλεγχο διαπιστώνουμε ότι τα $x=1,\, x=2,\, x=3$ αποκλείονται γιατί δεν δίνουν διαφορετικούς ανά δύο αριθμούς. Άρα $x\ge 4$ . Σε αυτήν την περίπτωση είναι σαφές ότι ο μικρότερος από τους παραπάνω αριθμούς είναι ο

, δηλαδή

. H υπόθεση, λοιπόν γίνεται

x +(3x+1)+( 2x-3)+( x^2 -2)=kx

, ισοδύναμα x(x+6-k)=4

.

Άρα ο φυσικός

διαιρεί το

, οπότε τελικά το μόνο υποψήφιο

είναι το

. Τον ελέγχουμε: Οι αριθμοί γίνονται $4,\,\, 13,\,\, 5,\,\,14$ . Το άθροισμά τους είναι $36=9\cdot 4= 9\cdot x$ . Επαληθεύει την υπόθεση με k=9

, και τελειώσαμε.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 16, 2022 7:47 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 16, 2022 3:04 pm
Θεωρούμε τους διαφορετικούς ανά δύο αριθμούς: $\displaystyle{x , 3x+1 , 2x-3 , x^2 -2}$ , όπου $\displaystyle{x}$ είναι θετικός ακέραιος.
Ονομάζουμε $\displaystyle{m}$ τον μικρότερο από τους πιο πάνω αριθμούς.
Αν το άθροισμα των τεσσάρων αυτών αριθμών είναι ίσο με $\displaystyle{k.m}$ , όπου $\displaystyle{k\in N}$ , να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί.
Με απλό απευθείας έλεγχο διαπιστώνουμε ότι τα $x=1,\, x=2,\, x=3$ αποκλείονται γιατί δεν δίνουν διαφορετικούς ανά δύο αριθμούς. Άρα $x\ge 4$ . Σε αυτήν την περίπτωση είναι σαφές ότι ο μικρότερος από τους παραπάνω αριθμούς είναι ο , δηλαδή . H υπόθεση, λοιπόν γίνεται

, ισοδύναμα .

Άρα ο φυσικός διαιρεί το , οπότε τελικά το μόνο υποψήφιο είναι το . Τον ελέγχουμε: Οι αριθμοί γίνονται $4,\,\, 13,\,\, 5,\,\,14$ . Το άθροισμά τους είναι $36=9\cdot 4= 9\cdot x$ . Επαληθεύει την υπόθεση με , και τελειώσαμε.

Καλό βράδυ Μιχάλη. Με τον απλό τρόπο που έλυσες το θέμα, θα μπορούσε να είναι και για τους μικρούς . Το έβαλα για τους μεγάλους, γιατί το έλυσα με πιο πολύπλοκο τρόπο.

Να βρεθούν 4 αριθμοί

Να βρεθούν 4 αριθμοί

Re: Να βρεθούν 4 αριθμοί

Re: Να βρεθούν 4 αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση