Εξίσωση απ' τα παλιά

#1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle \frac{2}{{x - 2}} + \frac{4}{{x - 4}} + \frac{8}{{x - 8}} + \frac{{10}}{{x - 10}} = {x^2} - 6x - 4$

#2

Προσθέτουμε τέσσερις μονάδες στα δύο μέλη, οπότε η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{\frac{x}{x-2}+\frac{x}{x-4}+\frac{x}{x-8}+\frac{x}{x-10}=x(x-6)}$

οπότε είναι $\displaystyle{x=0}$ ή

$\displaystyle{\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x-10}=x-6.}$

Ζευγαρώνουμε τα κλάσματα πρώτο-τελευταίο και δεύτερο τρίτο, οπότε η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{\frac{2x-12}{(x-2)(x-10)}+\frac{2x-12}{(x-4)(x-8)}=x-6,}$

άρα $\displaystyle{x=6}$ ή

$\displaystyle{\frac{1}{x^2-12x+20}+\frac{1}{x^2-12x+32}=\frac{1}{2}.}$

Θέτουμε $\displaystyle{x^2-12x+26=y}$ και η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\frac{1}{y-6}+\frac{1}{y+6}=\frac{1}{2}\iff y^2-4y-36=0 \iff y=2\pm 2\sqrt{10}.}$

Τελικά, η αρχική εξίσωση έχει ρίζες τις $\displaystyle{0,6}$ και αυτές των δευτεροβάθμιων $\displaystyle{x^2-12x+24\pm 2\sqrt{10}=0,}$ δηλαδή τις

$\displaystyle{6\pm \sqrt{12\pm 2\sqrt{10}}.}$

#3

Εξίσωση από τα παλιά

Φέρνω στο πρώτο μέλος το

, το «σπάω» σε «άσσους» κι έχω:

$\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{x}{{x - 8}} + \dfrac{x}{{x - 10}} = x\left( {x - 6} \right)$ . Προφανής ρίζα : $\boxed{x = 0}$ .Μετά έχω:

$\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{x - 8}} + \dfrac{1}{{x - 10}} = x - 6$ . Εδώ θέτω: $x = y + 6\,\,\left( 1 \right)$ και προκύπτει :

$4y\left( {{y^2} - 10} \right) = y\left( {y + 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {y + 4} \right)\left( {y - 4} \right)$ .

Πάλι εδώ έχω : y = 0

ή λόγω της $\left( 1 \right)$ $\boxed{x = 6}$ .

Τώρα προκύπτει η εξίσωση : ${y^4} - 24{y^2} + 104 = 0$ με ρίζες : $\left\{ \begin{gathered} {y^2} = 12 + 2\sqrt {10} \hfill \\ {y^2} = 12 - 2\sqrt {10} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Και άρα λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω εύκολα τις υπόλοιπες ρίζες .

Δεν είδα τη λύση του θάνου . Χαίρομαι που την ξεκλείδωσα με το ίδιο τρόπο .

#4

Η άσκηση ήταν παραλλαγή αυτής, απ' όπου και ο τίτλος.

Εξίσωση απ' τα παλιά

Εξίσωση απ' τα παλιά

Re: Εξίσωση απ' τα παλιά

Re: Εξίσωση απ' τα παλιά

Re: Εξίσωση απ' τα παλιά

Μέλη σε σύνδεση