Απλοποίηση παράστασης

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε $\left ( \alpha + 2 \right ) \left ( \beta + 2 \right ) = 8$ . Να απλοποιηθεί η παράσταση

$\displaystyle{\Pi = \alpha \beta + 2 \sqrt{\alpha^2 +\beta^2 + 8 - \sqrt{2 \left ( \alpha^2+4 \right ) \left ( \beta^2+4 \right )}}}$
Η άσκηση μπορεί να είναι και λάθος και να μη ζητάει αυτό καθώς δε ξέρω Βιετναμέζικα. Εικάζω όμως ότι είναι αυτό. Δεν έχω λύση.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 06, 2021 1:43 pm
Έστω $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε $\left ( \alpha + 2 \right ) \left ( \beta + 2 \right ) = 8$ . Να απλοποιηθεί η παράσταση

$\displaystyle{\Pi = \alpha \beta + 2 \sqrt{\alpha^2 +\beta^2 + 8 - \sqrt{2 \left ( \alpha^2+4 \right ) \left ( \beta^2+4 \right )}}}$
Η άσκηση μπορεί να είναι και λάθος και να μη ζητάει αυτό καθώς δε ξέρω Βιετναμέζικα. Εικάζω όμως ότι είναι αυτό. Δεν έχω λύση.

Από την πρώτη σχέση παίρνω $\boxed{b = \frac{{2(2 - a)}}{{a + 2}}}$ Θα υπολογίσω κάποιες επιμέρους παραστάσεις.

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {a^2} + {b^2} + 8 = {a^2} + \frac{{4{{(2 - a)}^2}}}{{{{(a + 2)}^2}}} + 8 = \frac{{{a^4} + 4{a^3} + 16{a^2} + 16a + 48}}{{{{(a + 2)}^2}}} = \frac{{({a^2} + 4)({a^2} + 4a + 12)}}{{{{(a + 2)}^2}}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \sqrt {2({a^2} + 4)({b^2} + 4)} = \sqrt {2({a^2} + 4)\frac{{8({a^2} + 4)}}{{{{(a + 2)}^2}}}} = \frac{{4({a^2} + 4)}}{{a + 2}}$

Άρα, $\displaystyle \Pi = \frac{{2a(2 - a)}}{{a + 2}} + 2\sqrt {\frac{{({a^2} + 4)({a^2} + 4a + 12 - 4a - 8)}}{{{{(a + 2)}^2}}}} = \frac{{4a - 2{a^2}}}{{a + 2}} + \frac{{2({a^2} + 4)}}{{(a + 2)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\Pi=4}$

Tolaso J Kos · #3

Ευτυχώς που η ουσία της άσκησης δε χάθηκε. Βέβαια να διορθώσω ότι τελικά τα a, b

είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί.

KARKAR · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 06, 2021 1:43 pm
Έστω $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε $\left ( \alpha + 2 \right ) \left ( \beta + 2 \right ) = 8$ . Να απλοποιηθεί η παράσταση

$\displaystyle{\Pi = \alpha \beta + 2 \sqrt{\alpha^2 +\beta^2 + 8 - \sqrt{2 \left ( \alpha^2+4 \right ) \left ( \beta^2+4 \right )}}}$

Λίγο διαφορετικά : Από την πρώτη , παίρνω :

ab=4-(a+b)

. Γράφω τώρα την παράσταση $\Pi$ , συναρτήσει μόνο του a+b

.

Είναι : a^2+b^2+8=(a+b)^2-2ab+8=...(a+b)(a+b+4)

και :

. Οπότε :

$4-2(a+b)+2\sqrt{(a+b)(a+b+4)-4(a+b)}=4-2(a+b)+2(a+b)=4$ .

Απλοποίηση παράστασης

Απλοποίηση παράστασης

Re: Απλοποίηση παράστασης

Re: Απλοποίηση παράστασης

Re: Απλοποίηση παράστασης

Μέλη σε σύνδεση