Ανισότητα

2nisic · #1

Αν $a,b,c\varepsilon \mathbb{R+}$ και a+b+c=3

να αποδειχθεί ότι:

$\sum \sqrt{a(a+1)+b+c}\geq 6$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

2nisic έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 11, 2021 7:48 pm
Αν $a,b,c\varepsilon \mathbb{R+}$ και να αποδειχθεί ότι:

$\sum \sqrt{a(a+1)+b+c}\geq 6$

Αρκεί ισοδύναμα $\sum_{cyc} \sqrt{a^2+3}\geq 6$

Παρατηρούμε τώρα ότι $\sqrt{x^2+3}\geq \dfrac{x+3}{2} \Leftrightarrow 4x^2+12\geq x^2+6x+9\Leftrightarrow 3(x-1)^2\geq 0$
(Tangent line trick)
Έτσι $\sum_{cyc} \sqrt{a^2+3}\geq \sum_{cyc} \dfrac{a+3}{2}=6$

2nisic · #3

Δείτε και εδώ:viewtopic.php?f=44&t=68979

#4

Έκανα διαγραφή της ανάρτησης, μετά την προτεινόμενη διόρθωση.

#5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 11, 2021 9:57 pm

Θερμή παράκληση: Διορθώστε την ανορθογραφία της εκφώνησης (Ανησοτητα -> Ανισότητα), όπως το διόρθωσε ο Πρόδρομος στην ανάρτησή του.

Επίσης, και τη λέξη "κλειδί". Χαμένη θα πάει η παραπομπή. Ποιος να διανοηθεί ότι η (αν-)ισότητα γράφεται με ήτα;

(Θα διαγράψω την ανάρτηση αυτή μετά τη διόρθωση).
Ευχαριστώ!

Γιώργο, και σε άλλα σημεία έχουμε πρόβλημα. Ο 2nisic αναρτά ωραίες ασκήσεις και λύσεις, αλλά δεν φροντίζει την γλώσσα όσο πρέπει. Π.χ. στο ποστ

εδώ

μας αγνόησε ή ξέχασε.

Θα επαναλάβω ένα σχόλιό μου προς 2nisic από εδώ

Υπόψη ότι επειδή μας διαβάζουν μαθητές, πρέπει να κάνουμε συνειδητή προσπάθεια να γράφουμε σωστά Ελληνικά. Δυστυχώς τα τελευταία χρόνια στην χώρα μας το γλωσσικό αισθητήριο έχει υποβιβαστεί δραματικά οπότε εμείς, ως μέλη ενός επιστημονικού φόρουμ, πρέπει να επισημαίνουμε ακούραστα την σωστή πρακτική. Το οφείλουμε στην νεολαία μας και ως Δάσκαλοι και ως κληρονόμοι μιας εξαιρετικής προϊστορίας.

Ας προσθέσω ότι στο διαδίκτυο υπάρχουν πολλά δωρεάν προγράμματα για έλεγχο της ορθογραφίας. Στο Google η φράση "spell check Greek" θα λύσει το πρόβλημα.

ksofsa · #6

Καλημέρα!

Δίνω μια προσέγγιση εκτός φακέλου, καθώς χρησιμοποιεί την ανισότητα Minkowski.

Έχω:

$\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=6.$

Ισότητα για a=b=c=1

.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισοτητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανησοτητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση