Συναρτησιακή στο Z
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή στο Z
Έστω η δοσμένη συναρτησιακή σχέση (παίρνω ).ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Ιαν 25, 2021 3:15 pmΝα βρεθούν όλες οι συναρτήσεις ώστε
για κάθε
Δεν είναι δική μου.
Η δίνει , οπότε η είναι επί. Παίρνω ώστε . Τότε, η δίνει , επομένως ή .
Περίπτωση 1: . Τότε, η δίνει .
Επιπλέον, η δίνει εύκολα , επομένως η δίνει , συνεπώς από την προκύπτει ότι , συνεπώς , που είναι άτοπο.
Περίπτωση 2: . Τότε, . Αφού η είναι επί, παίρνω ώστε , οπότε η δίνει .
Επιπλέον, η δίνει , συνεπώς , οπότε .
Με στην τελευταία προκύπτει , και με στην ίδια σχέση προκύπτει . Όμως,
, οπότε προκύπτει ότι .
Υποπερίπτωση 1: . Τότε, , οπότε η δίνει , δηλαδή η είναι και 1-1. Επιπλέον, η δίνει .
Συνεπώς, , για κάθε . Αφού όμως η είναι επί, η προηγούμενη δίνει , για κάθε .
Συνεπώς, έχουμε , άρα . Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την σχέση , προκύπτει ότι , που είναι άτοπο, καθώς η είναι 1-1.
Υποπερίπτωση 2: . Τότε, . Είναι, , και επίσης η δίνει , οπότε αφού η είναι επί, όπως πριν προκύπτει για κάθε .
Υπολογίζουμε τώρα ότι (χρησιμοποιώντας και την σχέση ):
,
,
,
,
, οπότε
.
Επιπλέον, .
Συνεπώς, έχουμε ότι , για κάθε .
Επαγωγικά δείχνουμε ότι , για κάθε .
Για το έχουμε ήδη αποδείξει. Παρατηρούμε τώρα, ότι αν ισχύει για κάθε μέχρι το , είναι , οπότε , συνεπώς .
Επομένως, έχουμε επαγωγικά ότι για κάθε .
Χρησιμοποιώντας τώρα την σχέση προκύπτει άμεσα ότι και για κάθε .
Επομένως, για κάθε , που προφανώς επαληθεύει, άρα είναι και η μοναδική λύση της συναρτησιακής εξίσωσης.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες