Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1347
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:06 pm

Οι αριθμοί a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7} είναι μη αρνητικοί, εξάλλου a_{1}=a_{7}=0. Να αποδείξετε, ότι για κάποιο δείκτη i \in \{ 2,3,4,5,6 \} ικανοποιείται η ανισότητα

a_{i-1}+a_{i+1} \leq a_{i} \sqrt{3}.

Μπορεί να ισχύει η ισότητα στις ανισότητες για κάθε i \in \{ 2,3,4,5,6 \};



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8611
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Νοέμ 15, 2020 11:35 am

Υποθέτουμε προς άτοπο ότι δεν ισχύει καμία ανισότητα. Τότε έχουμε

(1) \quad a_3 > a_2 \sqrt{3}
(2) \quad a_2+a_4 > a_3 \sqrt{3}
(3) \quad a_3+a_5 > a_4 \sqrt{3}
(4) \quad a_4+a_6 > a_5 \sqrt{3}
(5) \quad a_5 > a_6 \sqrt{3}

Από το (1) + \sqrt{3}(2) + 2(3) + \sqrt{3}(4) + (5) παίρνουμε

\displaystyle  \sqrt{3}a_2 + 3a+3 + 2\sqrt{3}a_4 + 3a_5 + \sqrt{3}a_6 >  \sqrt{3}a_2 + 3a+3 + 2\sqrt{3}a_4 + 3a_5 + \sqrt{3}a_6

άτοπο.

Μπορούμε να έχουμε ισότητα σε όλες αν πάρουμε τους αριθμούς

\displaystyle 0,1,\sqrt{3},2,\sqrt{3},1,0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης