Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 13, 2020 12:22 pm

Σε τρίγωνο \mathrm{ABC} να δειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{4}{9} \sum \sin B \sin C \leq \prod \cos \frac{B-C}{2} \leq \frac{2}{3} \cos A}
Άνευ λύσης!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 13, 2020 3:14 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:22 pm
Σε τρίγωνο \mathrm{ABC} να δειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{4}{9} \sum \sin B \sin C \leq \prod \cos \frac{B-C}{2} \leq \frac{2}{3} \cos A}
Άνευ λύσης!
Δεν νομίζω να ισχύει έτσι όπως είναι.
π.χ αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο A.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 07, 2020 10:13 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:22 pm
Σε τρίγωνο \mathrm{ABC} να δειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{4}{9} \sum \sin B \sin C \leq \prod \cos \frac{B-C}{2} \leq \frac{2}{3} \sum \cos A}
Άνευ λύσης!

Νομίζω είναι ΟΚ!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Νοέμ 19, 2020 9:20 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:22 pm
Σε τρίγωνο \mathrm{ABC} να δειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{4}{9} \sum \sin B \sin C \leq \prod \cos \frac{B-C}{2} \leq  \frac{2}{3}\sum \cos A}
Άνευ λύσης!
Αρχικά είναι απλό κάνοντας τις πράξεις να επαληθεύσει κανείς ότι \cos \dfrac{B-C}{2}=\dfrac{a+b}{c}\sin\dfrac{C}{2}

Οπότε ο μεσαίος όρος γράφεται \displaystyle \prod \cos \frac{B-C}{2}=\prod \dfrac{a+b}{c}\sin\dfrac{C}{2}=\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\prod\sin \dfrac{A}{2}

Είναι (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=2s(r^2+s^2+4Rr)-4Rrs
(για το ότι ab+bc+ca=r^2+s^2+4Rr δείτε εδώ).

Επίσης ισχύει \displaystyle 4\pros \sin \dfrac{A}{2}=\sum \cos A-1=\dfrac{r}{R}

Οπότε ο μεσαίος όρος είναι \dfrac{2s(r^2+s^2+4Rs)-4Rrs}{4Rsr}\cdot \dfrac{r}{4R}=\dfrac{r^2+s^2+2Rr}{8R^2}=Y

Ο πρώτος όρος είναι \displaystyle X=\dfrac{4}{9}\sum \sin B \sin C=\dfrac{4}{9}\sum \dfrac{a}{2R}\dfrac{b}{2R}=\dfrac{\sum ab}{9R^2}=\dfrac{r^2+s^2+4Rr}{9R^2}

Τέλος Z=\dfrac{2}{3}\sum \cos A=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{R+r}{R}

Z\geq Y\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{R+r}{R}\geq \dfrac{r^2+s^2+2Rr}{8R^2}\Leftrightarrow..\Leftrightarrow 16R^2+10Rr\geq 3r^2+3s^2

Η ανισότητα Gerretsen: s^2\leq 4R^2+3r^2+4Rr οπότε αρκεί 16R^2+10Rr\geq 3r^2+12R^2+9r^2+12Rr\Leftrightarrow 2R^2-Rr-6r^2\Leftrightarrow (R-2r)(2R+3r)\geq 0 που ισχύει αφού R\geq 2r

Y\geq X\Leftrightarrow \dfrac{r^2+s^2+2Rr}{8R^2}\geq \dfrac{r^2+s^2+4Rr}{9R^2}\Leftrightarrow..\Leftrightarrow  r^2+s^2\geq 14Rr
Είναι γνωστή η ανισότητα s^2\geq 16Rr-5r^2 οπότε αρκεί r^2+16Rr-5r^2\geq 14Rr\Leftrightarrow 2Rr\geq 4r^2\Leftrightarrow R\geq 2r που ισχύει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης