Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 13, 2020 12:19 pm

Σε τρίγωνο \mathrm{ABC} να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum \sin^2 A \leq 2 + 16 \prod \sin^2 \frac{A}{2} \leq \frac{9}{4}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 07, 2020 12:14 pm

Επαναφορά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:09 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:19 pm
Σε τρίγωνο \mathrm{ABC} να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum \sin^2 A \leq 2 + 16 \prod \sin^2 \frac{A}{2} \leq \frac{9}{4}}
Μία σκέψη για το δεξί μέλος:

Είναι \sin\dfrac{A}{2}>0 οπότε αρκεί με τις απλοποιήσεις \prod \sin \dfrac{A}{2}\leq \dfrac{1}{8}
Λογαριθμίζοντας αρκεί \sum ln(\sin\dfrac{A}{2})\leq 3ln\dfrac{1}{2}
Αν f(x)=ln(\sin x),x\in (0,\pi) τότε f'(x)=\dfrac{1}{\sin x}\cdot \cos x και f''(x)=\dfrac{-1}{\sin^2x}<0 οπότε f κοίλη στο (0,\pi) και έτσι από Jensen \sum ln(\sin\dfrac{A}{2})\leq 3ln(\sin\dfrac{A+B+C}{6})=3ln\dfrac{1}{2} όπως θέλαμε.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Νοέμ 18, 2020 5:58 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:19 pm
Σε τρίγωνο \mathrm{ABC} να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum \sin^2 A \leq 2 + 16 \prod \sin^2 \frac{A}{2} \leq \frac{9}{4}}
Κάνω και το άλλο μέλος...αποδείχθηκε πολύ πιο σύνθετο:
Είναι γνωστή η σχέση \displaystyle 4\prod\sin\dfrac{A}{2}=\sum \cos A-1 οπότε ισοδύναμα αρκεί να δείξω ότι \displaystyle 3-\sum \cos^2A\leq 2+(\sum \cos A-1)^2\Leftrightarrow \sum \cos^2A+\sum \cos A \cos B \geq \sum \cos A \Leftrightarrow
\displaystyle \Leftightarrow (\sum\cos A)^2\geq \sum \cos A\Leftrightarrow+\sum \cos A \cos B=\sum (\cos A+\cos B \cos C)=..=\sum \sin A \sin B
Γράφω τώρα \sin A=\dfrac{a}{2R},επίσης είναι γνωστό ότι \cos A+\cos B+\cos C=1+\dfrac{r}{R} με τους συνήθεις συμβολισμούς,οπότε αρκεί \dfrac{(r+R)^2}{R^2}\geq \sum \dfrac{a}{2R}\dfrac{b}{2R}=\dfrac{ab+bc+ca}{4R^2}\Leftrightarrow 4R^2+8Rr+4r^2\geq ab+bc+ca
Είναι sr=(ABC)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\Leftrightarrow sr^2=s^3-(a+b+c)s^2+(ab+bc+ca)s-abc
Επίσης \dfrac{abc}{4R}=(ABC)=sr\Leftrightarrow abc=4Rsr οπότε sr^2=-s^3+(ab+bc+ca)s-4Rsr\Leftrightarrow ab+bc+ca=r^2+s^2+4Rr
Αρκεί λοιπόν 4R^2+8Rs+4r^2\geq r^2+s^2+4Rr\Leftrightarrow 4R^2+3r^2+4Rr\geq s^2 που είναι η ανισότητα Gerretsen.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 239
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Νοέμ 18, 2020 7:14 pm

Ωραία Πρόδρομε! Μεθοδική η λύση σου με σίγουρα και σταθερά βήματα!

Ας δούμε μία ακόμα λύση:

Η γνώση-κλειδί για την παρακάτω λύση είναι η ταυτότητα

cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1.

Επομένως , η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

3-cos^2A-cos^2B-cos^2C\leq 2+16\prod sin^2\dfrac{A}{2}

2+2\prod cosA\leq 2+16\prod sin^2\dfrac{A}{2}

8\prod sin^2\dfrac{A}{2}\geq \prod cosA.

Όμως, η τελευταία ανισότητα είναι σχετικά γνωστή στους κύκλους των λατρών των τριγωνομετρικών ανισοτήτων. Είχε εμφανιστεί και στο Crux Mathematicorum.

Μια απόδειξη μπορείτε να δείτε εδώ:https://diendantoanhoc.net/topic/163299 ... acosbcosc/.


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης