Σελίδα 1 από 1

Απόλυτα φράγματα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 14, 2020 11:49 am
από Al.Koutsouridis
Έστω

\displaystyle{f(x)= \dfrac{7\left |x\right|}{2|\sin^3 \pi x|+7\left |x\right|^4} + \dfrac{3}{\left |x^3\right|}}.

Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό y, για τον οποίο για κάθε τιμή του x, διάφορη του μηδενός, ικανοποιείται η ανίσωση

\displaystyle{f(x)+\dfrac{1}{2} - \left | f(x)-\dfrac{1}{2} \right | \leq \dfrac{9y}{1+\left |x\right|^3}}.


Πηγή. Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1987.

Re: Απόλυτα φράγματα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 15, 2020 8:52 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Αύγ 14, 2020 11:49 am
Έστω

\displaystyle{f(x)= \dfrac{7\left |x\right|}{2|\sin^3 \pi x|+7\left |x\right|^4} + \dfrac{3}{\left |x^3\right|}}.

Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό y, για τον οποίο για κάθε τιμή του x, διάφορη του μηδενός, ικανοποιείται η ανίσωση

\displaystyle{f(x)+\dfrac{1}{2} - \left | f(x)-\dfrac{1}{2} \right | \leq \dfrac{9y}{1+\left |x\right|^3}}.


Πηγή. Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1987.
Ωραία.
Θα γράψω την λύση. Δυστυχώς μου είναι πολύ δύσκολο να γράψω τις σκέψεις που με οδήγησαν σε αυτήν.
Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι

\displaystyle f(x)+\dfrac{1}{2} - \left | f(x)-\dfrac{1}{2} \right |=2min(f(x),\frac{1}{2})

Για x=2 είναι f(2)=\dfrac{1}{2} .

Ετσι θα πρέπει y\geq 1.

Θα δείξω ότι το y=1 κάνει την δουλεία.

Για κάθε x\neq 0 είναι

 \displaystyle 0<f(x)\leq \frac{4}{|x|^{3}}

Αν |x|\leq 2
τότε
\displaystyle \dfrac{9}{1+\left |x\right|^3}\geq 1\geq 2min (f(x),\frac{1}{2})

Αν |x|> 2
τότε
\displaystyle 2min (f(x),\frac{1}{2})=2f(x)\leq \frac{8}{|x|^{3}}\leq \frac{9}{1+|x|^{3}}