Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις θετικές τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες το άθροισμα των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης

$\displaystyle{\log_{2} \left ( ax \right ) +\log_{2} \left ( 1-x \right ) = \cos \left ( \left ( x-x^2\right) a \pi \right)}$

είναι μέγιστο.

(Για Γ' Λυκείου). Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2020.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 12, 2020 12:00 pm
Να βρείτε όλες τις θετικές τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες το άθροισμα των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης

$\displaystyle{\log_{2} \left ( ax \right ) +\log_{2} \left ( 1-x \right ) = \cos \left ( \left ( x-x^2\right) a \pi \right)}$

είναι μέγιστο.

(Για Γ' Λυκείου). Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2020.

Αλέξανδρε

;;;

Al.Koutsouridis · #3

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 2:37 pm

Αλέξανδρε ;;;

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Η απάντηση είναι a > 8

.

Μάρκος Βασίλης · #4

Αρχικά, από τους λογαρίθμους προκύπτουν οι περιορισμοί x>0

και

, άρα $x\in(0,1)$ . Τώρα, η ζητούμενη γράφεται:

$\displaystyle{\log_2\left(a(x-x^2)\right)=\cos\left((x-x^2)a\pi\right).}$

Θέτουμε u=a(x-x^2)

οπότε, για $x\in(0,1)$ έχουμε $u\in(0,\frac{a}{4}]$ και η ζητούμενη γράφεται:

$\displaystyle{\log_2u=\cos(\pi u).}$

Το αριστερό μέλος παίρνει τιμές στο $(-\infty,\log_2\frac{a}{4}]$ ενώ το δεξί παίρνει τιμές ως εξής:

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}[\cos\frac{\pi a}{4},1) & a\in(0,4] \\ {[}-1,1) & a\in(4,8) \\ {[}-1,1] & a\in[8,+\infty)\end{array}\right.}$

Τώρα, ας παρατηρήσουμε ότι για u>2

έχουμε $\log_2u>1$ , άρα δεν υπάρχουν ρίζες τις εξίσωσης στο διάστημα $(2,+\infty)$ , οπότε για a>8

, αφού όλες οι ρίζες της εξίσωσης θα συμπεριλαμβάνονται στο διάστημα $(0,\frac{a}{4}]$ , το ζητούμενο άθροισμα θα είναι μέγιστο. Τέλος, η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης είναι το u=2

, οπότε και, με βάση τα παραπάνω, οι ζητούμενες τιμές του

είναι οι $a\in[8,+\infty)$ .

Μάρκος Βασίλης · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 2:37 pm

Αλέξανδρε ;;;

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Η απάντηση είναι .

Νομίζω ότι χρειαζόμαστε και το ίσο.

Al.Koutsouridis · #6

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm

Νομίζω ότι χρειαζόμαστε και το ίσο.

Για

προκύπτουν ίσες μεταξύ τους ρίζες. Ίσως να μην ήταν καθαρή η εκφώνηση. Θα το ξανακοιτάξω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Λίγο τροποποιημένη η λύση του Βασίλη.
Αν θέσουμε u=a(x-x^2)

με

η εξίσωση γράφεται

$2^{\cos \pi u}=u$

Ευκολα βλέπουμε ότι αυτή έχει δύο ρίζες .

Την u=2

και

όπου $\frac{1}{2}< r< 1$

Εχουμε λοιπόν τις

ax(1-x)=2

και

Για να έχει πραγματικές ρίζες η πρώτη πρέπει και αρκεί $a\geq 8$

Με αυτήν την συνθήκη και η δεύτερη έχει πραγματικές ρίζες και μάλιστα διακεκριμένες

Ευκολα βλέπουμε ότι οι ρίζες είναι στο (0,1)

και έχουν συνολικό άθροισμα

Η παγίδα είναι ότι αν a=8

η πρώτη έχει διπλή ρίζα το $\frac{1}{2}$

Ετσι το άθροισμα των διαφορετικών ριζων είναι $\frac{3}{2}$ .

Αρα θα πρέπει a>8

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 2:37 pm

Αλέξανδρε ;;;
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Η απάντηση είναι .

Οκ! Αυτό εννοούσα!

Μάρκος Βασίλης · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 6:30 pm
Η παγίδα είναι ότι αν η πρώτη έχει διπλή ρίζα το $\frac{1}{2}$

Πολύ σωστή παρατήρηση, μου διέφυγε παντελώς αρχικά. Επομένως, πράγματι a>8

.

Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση