Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Αύγ 12, 2020 12:00 pm

Να βρείτε όλες τις θετικές τιμές της παραμέτρου a, για τις οποίες το άθροισμα των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης

\displaystyle{\log_{2} \left ( ax \right ) +\log_{2} \left ( 1-x \right ) = \cos \left ( \left ( x-x^2\right) a \pi \right)}

είναι μέγιστο.


(Για Γ' Λυκείου). Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2020.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Αύγ 15, 2020 2:37 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Αύγ 12, 2020 12:00 pm
Να βρείτε όλες τις θετικές τιμές της παραμέτρου a, για τις οποίες το άθροισμα των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης

\displaystyle{\log_{2} \left ( ax \right ) +\log_{2} \left ( 1-x \right ) = \cos \left ( \left ( x-x^2\right) a \pi \right)}

είναι μέγιστο.


(Για Γ' Λυκείου). Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2020.

Αλέξανδρε a=8 ;;;


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm

rek2 έγραψε:
Σάβ Αύγ 15, 2020 2:37 pm

Αλέξανδρε a=8 ;;;

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Η απάντηση είναι a > 8.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 265
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm

Αρχικά, από τους λογαρίθμους προκύπτουν οι περιορισμοί x>0 και x<1, άρα x\in(0,1). Τώρα, η ζητούμενη γράφεται:

\displaystyle{\log_2\left(a(x-x^2)\right)=\cos\left((x-x^2)a\pi\right).}

Θέτουμε u=a(x-x^2) οπότε, για x\in(0,1) έχουμε u\in(0,\frac{a}{4}] και η ζητούμενη γράφεται:

\displaystyle{\log_2u=\cos(\pi u).}

Το αριστερό μέλος παίρνει τιμές στο (-\infty,\log_2\frac{a}{4}] ενώ το δεξί παίρνει τιμές ως εξής:

\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}[\cos\frac{\pi a}{4},1) & a\in(0,4] \\ 
{[}-1,1) & a\in(4,8) \\ 
{[}-1,1] & a\in[8,+\infty)\end{array}\right.}

Τώρα, ας παρατηρήσουμε ότι για u>2 έχουμε \log_2u>1, άρα δεν υπάρχουν ρίζες τις εξίσωσης στο διάστημα (2,+\infty), οπότε για a>8, αφού όλες οι ρίζες της εξίσωσης θα συμπεριλαμβάνονται στο διάστημα (0,\frac{a}{4}], το ζητούμενο άθροισμα θα είναι μέγιστο. Τέλος, η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης είναι το u=2, οπότε και, με βάση τα παραπάνω, οι ζητούμενες τιμές του a είναι οι a\in[8,+\infty).


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 265
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm
rek2 έγραψε:
Σάβ Αύγ 15, 2020 2:37 pm

Αλέξανδρε a=8 ;;;

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Η απάντηση είναι a > 8.
Νομίζω ότι χρειαζόμαστε και το ίσο.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Αύγ 15, 2020 4:37 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm

Νομίζω ότι χρειαζόμαστε και το ίσο.
Για  a=8 προκύπτουν ίσες μεταξύ τους ρίζες. Ίσως να μην ήταν καθαρή η εκφώνηση. Θα το ξανακοιτάξω.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3207
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 15, 2020 6:30 pm

Λίγο τροποποιημένη η λύση του Βασίλη.
Αν θέσουμε u=a(x-x^2) με 0<x<1
η εξίσωση γράφεται

2^{\cos \pi u}=u

Ευκολα βλέπουμε ότι αυτή έχει δύο ρίζες .

Την u=2και u=r όπου \frac{1}{2}< r< 1

Εχουμε λοιπόν τις

ax(1-x)=2και ax(1-x)=r

Για να έχει πραγματικές ρίζες η πρώτη πρέπει και αρκεί a\geq 8

Με αυτήν την συνθήκη και η δεύτερη έχει πραγματικές ρίζες και μάλιστα διακεκριμένες

Ευκολα βλέπουμε ότι οι ρίζες είναι στο (0,1)
και έχουν συνολικό άθροισμα 2

Η παγίδα είναι ότι αν a=8 η πρώτη έχει διπλή ρίζα το \frac{1}{2}

Ετσι το άθροισμα των διαφορετικών ριζων είναι \frac{3}{2}.

Αρα θα πρέπει a>8


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Αύγ 15, 2020 9:29 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm
rek2 έγραψε:
Σάβ Αύγ 15, 2020 2:37 pm

Αλέξανδρε a=8 ;;;
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Η απάντηση είναι a > 8.
Οκ! Αυτό εννοούσα! :)


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 265
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρικό-λογαριθμική με παράμετρο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Αύγ 16, 2020 1:00 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Αύγ 15, 2020 6:30 pm
Η παγίδα είναι ότι αν a=8 η πρώτη έχει διπλή ρίζα το \frac{1}{2}
Πολύ σωστή παρατήρηση, μου διέφυγε παντελώς αρχικά. Επομένως, πράγματι a>8.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης