Χωρίς πολλά απόλυτα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνονται οι πραγματικοί a,b

Να δειχθεί ότι υπάρχουν πραγματικοί A,B

ώστε

$\displaystyle |a|x|y+b|y|x|=A|xy|+Bxy$

για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$

Ορέστης Λιγνός · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 09, 2020 11:15 am
Δίνονται οι πραγματικοί
Να δειχθεί ότι υπάρχουν πραγματικοί
ώστε

$\displaystyle |a|x|y+b|y|x|=A|xy|+Bxy$

για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$

$\rightarrow$ Αν $x,y \geqslant 0$ τότε θέλουμε $|a|x|y+b|y|x|=A|xy|+Bxy \Rightarrow |axy+bxy|=(A+B)xy \Rightarrow |a+b|=A+B$ .
$\rightarrow$ Αν $x,y \leqslant 0$ , τότε θέλουμε $|a|x|y+b|y|x|=Α|xy|+Bxy \Rightarrow |-axy-bxy|=Axy+Bxy \Rightarrow |a+b|=A+B$ .
$\rightarrow$ Αν ο ένας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός - έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας x>0>y

, τότε θέλουμε $|a|x|y+b|y|x|=A|xy|+Bxy \Rightarrow |axy-bxy|=(B-A)xy \Rightarrow |a-b|=A-B$ , καθώς |xy|=-xy

.

Οπότε, μπορούμε να πάρουμε $A=\dfrac{|a+b|+|a-b|}{2}$ και $B=\dfrac{|a+b|-|a-b|}{2}$ (είναι προφανές ότι αυτά τα A,B

δουλεύουν).

Χωρίς πολλά απόλυτα

Χωρίς πολλά απόλυτα

Re: Χωρίς πολλά απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση