Κλασματική εξίσωση

#1

Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle \frac{{{x^2} + 3x + 8}}{{{x^2} - 3x + 8}} + \frac{{{x^2} - 3x + 8}}{{{x^2} + 3x + 8}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} - 2x + 4}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} + 2x + 4}}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 01, 2020 10:35 am
Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle \frac{{{x^2} + 3x + 8}}{{{x^2} - 3x + 8}} + \frac{{{x^2} - 3x + 8}}{{{x^2} + 3x + 8}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} - 2x + 4}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} + 2x + 4}}$

Καλημέρα!
Αφαιρούμε από κάθε όρο το

οπότε εξακολουθεί να ισχύει η ισότητα και $\rm \dfrac{x^2+3x+8}{x^2-3x+8}-1=\dfrac{6x}{x^2-3x+8}$ και ομοίως οι υπόλοιποι όροι οπότε η αρχική γράφεται:
$\rm \dfrac{6x}{x^2-3x+8}-\dfrac{6x}{x^2+3x+8}=\dfrac{4x}{x^2-2x+4}-\dfrac{4x}{x^2+2x+4}$ .
Για $\rm x=0$ δεν μηδενίζεται κάποιος παρονομαστής οπότε λύση της εξίσωσης και τώρα γράφεται:
$\rm \dfrac{3}{x^2-3x+8}-\dfrac{2}{x^2-2x+4}=\dfrac{3}{x^2+3x+8}-\dfrac{2}{x^2+2x+4} \Leftrightarrow$

$\rm \Leftrightarrow \dfrac{3x^2-6x+12-2x^2+6x-16}{\left ( x^2-3x+8 \right )\left ( x^2-2x+4 \right )}=\dfrac{3x^2+6x+12-2x^2-6x-16}{\left ( x^2+3x+8 \right )\left (x^2+2x+4 \right )}$

$\rm \Leftrightarrow \dfrac{x^2-4}{(x^2-3x+8)\left ( x^2-2x+4 \right )}= \dfrac{x^2-4}{(x^2+3x+8)\left ( x^2+2x+4 \right )}$
Για $\rm x=\pm 2$ δεν μηδενίζεται κάποιος παρονομαστής άρα $\rm x=\pm 2$ λύση της εξίσωσης και τώρα:
$\rm (x^2-3x+8)\left ( x^2-2x+4 \right )=(x^2+3x+8)\left ( x^2+2x+4 \right )\Leftrightarrow \dfrac{(x^2-3x+8)}{(x^2+3x+8)}=\dfrac{\left ( x^2+2x+4 \right )}{\left ( x^2-2x+4 \right )}$
Στην παραπάνω αφαιρούμε

από κάθε μέλος και γίνεται
$\rm \dfrac{-6x}{x^2+3x+8}=\dfrac{4x}{x^2-2x+4}$ η οποία έχει λύση $\rm x=0$ και για $\rm x\neq 0$ γράφεται (απλοποιώ με το

)
$\rm -3x^2+6x-12=2x^2+6x+16 \Leftrightarrow 5x^2=-28 \Leftrightarrow x=\pm 2i\sqrt{\dfrac{7}{5}}$ (μιας και δεν δόθηκε περιορισμός $\rm x \in \mathbb{R}$ )

Λύσεις λοιπόν οι $\rm x=0$ (διπλή), $\rm x=\pm 2$ και οι $\rm x=\pm 2i\sqrt{\dfrac{7}{5}}$

#3

Πολύ ωραία ο Πρόδρομος

Μια παρεμφερή, Θέτω : $a = {x^2} - 3x + 8 > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = {x^2} - 2x + 4$ και η εξίσωση γράφεται :

$\dfrac{{a + 6x}}{a} + \dfrac{a}{{a + 6x}} - \dfrac{{b + 4x}}{b} - \dfrac{b}{{b + 4x}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{6x}}{a} - \dfrac{{4x}}{b} + \dfrac{a}{{a + 6x}} - \dfrac{b}{{b + 4x}} = 0$ ή

$\left( {2a - 3b} \right)x\left( {\dfrac{1}{{ab}} - \dfrac{1}{{\left( {a + 6x} \right)\left( {b + 4x} \right)}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ 2a - 3b = 0 \hfill \\ \left( {a + 6x} \right)\left( {b + 4x} \right) - ab = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ {x^2} - 4 = 0 \hfill \\ x\left( {5{x^2} + 28} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Τα υπόλοιπα απλά .

#4

Αλλιώς, θέτω $\displaystyle \frac{{{x^2} + 3x + 8}}{{{x^2} - 3x + 8}} = a,\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} - 2x + 4}} = b$ και η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle a + \frac{1}{a} = b + \frac{1}{b} \Leftrightarrow a = b$ ή $\displaystyle a = \frac{1}{b}$

$\displaystyle a = b \Leftrightarrow 1 + \frac{{6x}}{{{x^2} - 3x + 8}} = 1 + \frac{{4x}}{{{x^2} - 2x + 4}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=-2}$ ή $\boxed{x=0}$ ή $\boxed{x=2}$

Ομοίως για $\displaystyle a = \frac{1}{b} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=0}$ ή $\displaystyle 5{x^2} + 28 = 0$ που δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Σημείωση: Ο Πρόδρομος καλά έκανε που, για λόγους πληρότητας, συμπεριέλαβε στις ρίζες και τις δύο φανταστικές.
Επειδή όμως οι μιγαδικοί έχουν αφαιρεθεί από την ύλη της Γ Λυκείου και ο φάκελος είναι Θαλής-Ευκλείδης, μπορούμε
να τις απορρίψουμε. Το πιο σωστό βέβαια, θα ήταν να γράψω "Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση..."

Κλασματική εξίσωση

Κλασματική εξίσωση

Re: Κλασματική εξίσωση

Re: Κλασματική εξίσωση

Re: Κλασματική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση