Ελάχιστη προσπάθεια

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστη προσπάθεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 18, 2020 8:41 pm

Το τετάρτου βαθμού πολυώνυμο P(x) παρουσιάζει ελάχιστη τιμή : P_{min}=-\dfrac{3}{5} ,

στις θέσεις x_{1}=-1 και x_{2}=2 . Αν επιπλέον P(0)=1 , υπολογίστε το P(5) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ελάχιστη προσπάθεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Μάιος 19, 2020 12:41 am

Να μία ιδέα:

Το P(x)+3/5 έχει διπλές (τουλάχιστον) ρίζες τους αριθμούς -1 και 2 αφού μηδενίζουν αυτό και (Fermat) την παράγωγό του.

Επομένως, σαν τεταρτοβάθμιο, γράφεται σαν a(x+1)^2(x-2)^2.

Το a βρίσκεται από την σχέση P(0)=1, κ.λπ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη προσπάθεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 19, 2020 10:08 am

\displaystyle P(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + 1,P'(x) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d

Έχουμε λοιπόν τις εξισώσεις \displaystyle P'( - 1) = P'(2) = 0 και \displaystyle P( - 1) = P(2) =  - \frac{3}{5}

Λύνοντας το σύστημα βρίσκω \displaystyle a = \frac{2}{5},b =  - \frac{4}{5},c =  - \frac{6}{5},d = \frac{8}{5} και \boxed{P(5)=129}


Δώρο το τοπικό μέγιστο \displaystyle P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{57}}{{40}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης