Δεν έχει λύσεις!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

4ptil
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Δεν έχει λύσεις!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Κυρ Μάιος 17, 2020 9:38 pm

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν x,y \in \mathbb{Z} που ικανοποιούνε τη σχέση 13x^2+6=5y^2



Λέξεις Κλειδιά:
stranger
Δημοσιεύσεις: 203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δεν έχει λύσεις!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Μάιος 17, 2020 10:17 pm

Είναι απλό. Δουλεύοντας mod 5 παίρνουμε 13x^2 \equiv -6 \equiv -1 (mod 5).
Άρα επειδή ο αντίστροφος του 13 στο \mathbb{Z}_5 είναι ο 2 παίρνοουμε x^2 \equiv -2 \equiv 3 (mod 5).
Δίνοντας τιμές στο x από το 0 έως το 4 εύκολα βλέπουμε ότι η x^2 \equiv 3 (mod 5) είναι αδύνατη.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 449
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Δεν έχει λύσεις!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Κυρ Μάιος 17, 2020 10:42 pm

Νομίζω βγαίνει και με mod3 αλλά είμαι εκτός και με το κινητό :)


4ptil
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Δεν έχει λύσεις!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Κυρ Μάιος 17, 2020 10:54 pm

με mod 4 είναι ακόμα πιο απλό παίρνοντας x^2=4n^2 ή 4n^2 +4n +1 και μετά καταλήγουμε σε άτοπο :D


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12250
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δεν έχει λύσεις!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 17, 2020 11:38 pm

4ptil έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 10:54 pm
με mod 4 είναι ακόμα πιο απλό παίρνοντας x^2=4n^2 ή 4n^2 +4n +1 και μετά καταλήγουμε σε άτοπο :D
Εδώ μάλλον πρέπει να είσαι λίγο πιο αναλυτικός γιατί οι σχέσεις που γράφεις δίνουν x=2n ή x=2n+1. Δηλαδή δεν χρειάζεται να δουλέψεις mod τίποτα για να καταλήξεις εκεί, καθώς ξέρεις εκ των προτέρων ότι ο x είναι είτε άρτιος είτε περιττός.


4ptil
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Δεν έχει λύσεις!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Κυρ Μάιος 17, 2020 11:55 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 11:38 pm
4ptil έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 10:54 pm
με mod 4 είναι ακόμα πιο απλό παίρνοντας x^2=4n^2 ή 4n^2 +4n +1 και μετά καταλήγουμε σε άτοπο :D
Εδώ μάλλον πρέπει να είσαι λίγο πιο αναλυτικός γιατί οι σχέσεις που γράφεις δίνουν x=2n ή x=2n+1. Δηλαδή δεν χρειάζεται να δουλέψεις mod τίποτα για να καταλήξεις εκεί, καθώς ξέρεις εκ των προτέρων ότι ο x είναι είτε άρτιος είτε περιττός.
Εννοώ ότι έτσι καταλήγουμε ότι κάθε τέλειο τετράγωνο ρητού είναι ισουπόλοιπο του 0 ή του 1 mod 4 όμως η παραπάνω δίνει x^2+2\equiv y^2 mod 4
άρα προσθέτοντας 2 στον x^2 τον κάνει ισουπόλοιπο 2 ή 3 mod 4 και μετά από έλεγχο καταλήγουμε σε άτοπο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12250
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δεν έχει λύσεις!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 18, 2020 12:49 am

4ptil έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 11:55 pm
Εννοώ ότι έτσι καταλήγουμε ότι κάθε τέλειο τετράγωνο ρητού είναι ισουπόλοιπο του 0 ή του 1 mod 4 όμως η παραπάνω δίνει x^2+2\equiv y^2 mod 4
άρα προσθέτοντας 2 στον x^2 τον κάνει ισουπόλοιπο 2 ή 3 mod 4 και μετά από έλεγχο καταλήγουμε σε άτοπο.
:10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες