Υπερανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Υπερανισότητα

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 16, 2020 10:52 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 4:01 pm
Ας δούμε και το ανάποδο πρόβλημα.
KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς a ,b , ισχύει : (8a^2+b^2)^2 > 16a^3b .
Ποια είναι η μικρότερη δυνατή σταθερά m , για την οποία ισχύει (ma^2+b^2)^2 \ge 16a^3b ,

για όλους τους θετικούς a ,b ;

( Στα παραπάνω ήδη υπάρχει αυτή η σταθερά, αλλά όχι ως προς το ερώτημα αν είναι η βέλτιστη ) .
Ακολουθώντας την πεπατημένη : Με πράξεις και θέτοντας \dfrac{a}{b}=x , θέλουμε :

m^2x^4-16x^3+2mx^2+1\geq 0 , \forall x>0 . Ισοδύναμα : \dfrac{4x\sqrt{x}-1}{x^2}\leq m ,

δηλαδή το m είναι το μέγιστο της συνάρτησης : g(x)=\dfrac{4x\sqrt{x}-1}{x^2} , x>0 , που

εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι το m=3 και επιτυγχάνεται για : x=1



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπερανισότητα

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 17, 2020 11:39 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 4:01 pm
Ας δούμε και το ανάποδο πρόβλημα.
KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς a ,b , ισχύει : (8a^2+b^2)^2 > 16a^3b .
Ποια είναι η μικρότερη δυνατή σταθερά στην θέση του 8; Δηλαδή, ποια είναι η μικρότερη δυνατή
σταθερά M για την οποία ισχύει (Ma^2+b^2)^2 \ge 16a^3b για όλους τους θετικούς a ,b ;

(Στα παραπάνω ήδη υπάρχει αυτή η σταθερά, αλλά όχι ως προς το ερώτημα αν είναι η βέλτιστη).
Ας το δούμε και χωρίς Απειροστικό, με επιχείρημα που το είδαμε ήδη στα προηγούμενα.

Έχουμε

\left (Ma^2+b^2\right )^2=\left (\dfrac{M}{3}a^2+\dfrac{M}{3}a^2+\dfrac{M}{3}a^2+b^2\right )^2\geq \left (4\sqrt[4]{\dfrac{M^3}{3^3}a^6b^2} \right )^2=16\sqrt{\dfrac{M^3}{3^3}}a^3b

με ισότητα για \,\dfrac{M}{3}a^2=b^2. Άρα το ζητούμενο ανάγεται στην εύρεση του μικρότερου M με

\displaystyle{16\sqrt{\dfrac{M^3}{3^3}}a^3b \ge 16a^3b}, ισοδύναμα M^3\ge 3^3. Τελικά, M=3


APOSTOLAKIS
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm

Re: Υπερανισότητα

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από APOSTOLAKIS » Πέμ Απρ 23, 2020 12:51 am

Διαιρούμε με a^{4} τότε \left [ 8+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2} \right ]^{2}>16\left ( \frac{b}{a} \right )
\Leftrightarrow 8+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2}>4\sqrt{\frac{b}{a}}. Θέτουμε x=\frac{b}{a}, x>0, τότε η ανισότητα γράφεται
8+x^{2}>4\sqrt{x} και θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=x^{2}-4\sqrt{x}+8, x>0 που είναι παραγωγίσιμη στο (0, +\infty ) με
f{}'(x)=2x-\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{2x\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}. Για 0<x<1 είναι f{}'(x)<0 και για x>1 είναι f{}(x)'>0, άρα στο x=1 παρουσιάζει ελάχιστο το f(1)=5, οπότε f(x)\geq 5>0.
Για την ελάχιστη τιμή του M, ομοίως αρκεί 1-4+M\geqslant 0\Leftrightarrow M \geq 3
N. Z. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης