7 συντρέχουν

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

miltosk
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

7 συντρέχουν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Απρ 03, 2020 4:36 pm

Προέκυψε σε προσπάθεια λύσης άλλης (Vietnam MO 2020 P4 day 1 για οποιον ενδιαφερεται).
Έστω τρίγωνο ABC και O,H το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι Euler των τριγώνων: AOH, BOH, COH, AOB, AOC, BOC, ABC διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Σημείωση: Το σημείο αυτό πρέπει να είναι και το σημείο Poncelet του τριγώνου ABC ως προς O.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: 7 συντρέχουν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Απρ 03, 2020 5:45 pm

miltosk έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 4:36 pm
Προέκυψε σε προσπάθεια λύσης άλλης (Vietnam MO 2020 P4 day 1 για οποιον ενδιαφερεται).
Έστω τρίγωνο ABC και O,H το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι Euler των τριγώνων: AOH, BOH, COH, AOB, AOC, BOC, ABC διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Σημείωση: Το σημείο αυτό πρέπει να είναι και το σημείο Poncelet του τριγώνου ABC ως προς O.
Αρχικά οι κύκλοι \rm Euler των \rm  BOC,BOH,HOC,BHC συντρέχουν στο σημείο \rm Poncelet του \rm BHCO.Όμως ο κύκλος \rm Euler του \rm BCH είναι και κύκλος \rm Euler του \rm ABC αφού και οι δύο διέρχονται από το μέσο του \rm BC,του \rm BH και του \rm CH.Από το σημείο τομής όμως των κύκλων \rm Euler των \rm BOC,ABC θα περνάνε και οι κύκλοι \rm Euler των \rm ACO,ABO αφού θα είναι το σημείο \rm Poncelet του \rm ABCO .Επίσης το σημείο τομής όλων των παραπάνω θα είναι σημείο \rm Poncelet του \rm ABOH οπότε από αυτό θα περνά και ο κύκλος \rm Euler του \rm AOH και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: 7 συντρέχουν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Απρ 03, 2020 6:03 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 5:45 pm
miltosk έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 4:36 pm
Προέκυψε σε προσπάθεια λύσης άλλης (Vietnam MO 2020 P4 day 1 για οποιον ενδιαφερεται).
Έστω τρίγωνο ABC και O,H το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι Euler των τριγώνων: AOH, BOH, COH, AOB, AOC, BOC, ABC διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Σημείωση: Το σημείο αυτό πρέπει να είναι και το σημείο Poncelet του τριγώνου ABC ως προς O.
Αρχικά οι κύκλοι \rm Euler των \rm  BOC,BOH,HOC,BHC συντρέχουν στο σημείο \rm Poncelet του \rm BHCO.Όμως ο κύκλος \rm Euler του \rm BCH είναι και κύκλος \rm Euler του \rm ABC αφού και οι δύο διέρχονται από το μέσο του \rm BC,του \rm BH και του \rm CH.Από το σημείο τομής όμως των κύκλων \rm Euler των \rm BOC,ABC θα περνάνε και οι κύκλοι \rm Euler των \rm ACO,ABO αφού θα είναι το σημείο \rm Poncelet του \rm ABCO .Επίσης το σημείο τομής όλων των παραπάνω θα είναι σημείο \rm Poncelet του \rm ABOH οπότε από αυτό θα περνά και ο κύκλος \rm Euler του \rm AOH και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
:coolspeak: Αυτό είχα στα υπ όψη μου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης