Περαστική ανισότητα...

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

TasosBat
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2015 2:47 pm

Περαστική ανισότητα...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TasosBat » Τρί Μαρ 31, 2020 6:35 pm

Αν ο \displaystyle \alpha\in\Bbb{R}^{*} ικανοποιεί την σχέση \alpha^2-2^{n}\cdot \alpha-1=0, όπου n\in\Bbb{N},

να αποδείξετε ότι: (\alpha^{2}+ \frac{1}{\alpha^2})\cdot (\alpha^{4}+ \frac{1}{\alpha^4})\cdot (\alpha^{8}+ \frac{1}{\alpha^8}) \cdot\cdot\cdot (\alpha^{2^n}+ \frac{1}{\alpha^{2^n}}) >2^{2n(2^{n}-1)}.


Αναστάσιος Μπατατέγας

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Περαστική ανισότητα...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 31, 2020 7:29 pm

TasosBat έγραψε:
Τρί Μαρ 31, 2020 6:35 pm
Αν ο \displaystyle \alpha\in\Bbb{R}^{*} ικανοποιεί την σχέση \alpha^2-2^{n}\cdot \alpha-1=0, όπου n\in\Bbb{N},

να αποδείξετε ότι: (\alpha^{2}+ \frac{1}{\alpha^2})\cdot (\alpha^{4}+ \frac{1}{\alpha^4})\cdot (\alpha^{8}+ \frac{1}{\alpha^8}) \cdot\cdot\cdot (\alpha^{2^n}+ \frac{1}{\alpha^{2^n}}) >2^{2n(2^{n}-1)}.
Μάλλον παραπλανητική θα έλεγα.
Η εξίσωση έχει ρίζες κατ απόλυτη τιμή αντίστροφες.
Μπορούμε να πάρουμε

a=2^{n-1}+\sqrt{2^{2(n-1)}+1}> 2^{n}
Αλλά εύκολα δείχνουμε επαγωγικά ότι

a^{2^{k}}> 2^{2n2^{k-1}},k=1,2,....,n-1

Ετσι

(\alpha^{2}+ \frac{1}{\alpha^2})\cdot (\alpha^{4}+ \frac{1}{\alpha^4})\cdot \cdot\cdot\cdot (\alpha^{2^n}+ \frac{1}{\alpha^{2^n}})> (\alpha^{2})\cdot (\alpha^{4})\cdot (\alpha^{8})\cdot\cdot\cdot (\alpha^{2^n})> 2^{2n(1+2+...+2^{n-1})}=2^{2n(2^{n}-1)}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12230
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Περαστική ανισότητα...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 31, 2020 7:42 pm

TasosBat έγραψε:
Τρί Μαρ 31, 2020 6:35 pm
Αν ο \displaystyle \alpha\in\Bbb{R}^{*} ικανοποιεί την σχέση \alpha^2-2^{n}\cdot \alpha-1=0, όπου n\in\Bbb{N},

να αποδείξετε ότι: (\alpha^{2}+ \frac{1}{\alpha^2})\cdot (\alpha^{4}+ \frac{1}{\alpha^4})\cdot (\alpha^{8}+ \frac{1}{\alpha^8}) \cdot\cdot\cdot (\alpha^{2^n}+ \frac{1}{\alpha^{2^n}}) >2^{2n(2^{n}-1)}.
Αφύσικη άσκηση αφού μπορούμε να σβήσουμε τους μισούς όρους και πάλι να ισχύει η ανισότητα.

Από την εξίσωση a=\frac {1}{2}(2^n\pm \sqrt {2^{2n} + 4}). Ας εξετάσουμε πρώτα το +. Είναι τότε a>\frac {1}{2}(2^n+ \sqrt {2^{2n} })= 2^n. Άρα η παράσταση είναι μεγαλύτερη από

(\alpha^{2}+0)\cdot (\alpha^{4}+ 0)\cdot (\alpha^{8}+ 0)\cdot\cdot\cdot (\alpha^{2^n}+ 0)= a^{2+4+...+2^n}= a^{2(2^n-1)}> 2^{2n(2^n-1)}

Όμοια για την δεύτερη ρίζα η οποία είναι -1/a, όπου a η πρώτη ρίζα. Με άλλα λόγια τώρα ξεχνάμε τα a^k και δουλεύουμε με τα 1/a^k.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος με την ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης